IV日本大学 2021年 数学 第IV問解答・解説

(1) 点 $A(3,4,2)$ から $xy$ 平面に下ろした垂線の足は $H(3,4,0)$ であり，$OH=\sqrt{3^2+4^2}=5$ である。また，$P$ は原点中心，半径1の円 $C$ 上にあるから $OP=1$ である。三角形 $OPH$ の三辺に三角不等式を用いると， $$|OH-OP|\leq PH\leq OH+OP,$$ したがって $4\leq PH\leq6$ となる。$P$ が $OH$ と同じ向きの半径上にあるとき下端4を，反対向きの半径上にあるとき上端6をとるので，両端とも実現する。

(2) $AH$ は $xy$ 平面に垂直であり，$PH$ は $xy$ 平面内にあるから，$\angle AHP=90^\circ$ である。よって直角三角形 $APH$ において $$\displaystyle AH=2,\qquad AP=\sqrt{AH^2+PH^2}=\sqrt{4+PH^2},\qquad \sin\alpha=\frac{AH}{AP}=\frac{2}{\sqrt{4+PH^2}}.$$ $PH>0$ の範囲で $PH$ が大きくなると分母は大きくなるので，$\sin\alpha$ は小さくなる。したがって，最小値は $PH=6$ のとき，最大値は $PH=4$ のときにとる。 $$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4+6^2}}=\frac{2}{\sqrt{40}}=\frac{\sqrt{10}}{10},\qquad \frac{2}{\sqrt{4+4^2}}=\frac{2}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt5}{5}.$$ ゆえに求める範囲は $$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}\leq\sin\alpha\leq\frac{\sqrt5}{5}$$ である。両端は (1) と同じ各点 $P$ で実現する。