5東邦大学 2022年 数学 第5問解答・解説

東邦大学 2022年度 第5問

問題ID: MM-988468583aaf-Q5

$$PQ=QR=RP=\sqrt2$$ だから $\triangle PQR$ は一辺 $\sqrt2$ の正三角形である。その内接円の半径は、面積を半周長で割って $$\displaystyle r=\frac{(\sqrt3/4)(\sqrt2)^2}{3\sqrt2/2} =\frac{\sqrt6}{6} =\sqrt{\frac16}.$$ 従って $\text{ク}=1,\ \text{ケ}=6$。

内心 $I$ は重心と一致するので $$\displaystyle I=\left(\frac13,\frac13,\frac13\right).$$ 平面 $PQR$ の法線方向は $(1,1,1)$。球面の中心 $X$ は、断面円の中心 $I$ を通る法線上にあるため $$X=(\lambda,\lambda,\lambda)$$ とおける。球面は原点を通るのでその半径 $R$ は $$R^2=|X|^2=3\lambda^2.$$ 平面上の断面円の半径の二乗は、球の半径の二乗から中心 $X$ と断面中心 $I$ の距離の二乗を引いた値だから $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt6}{6}\right)^2 =R^2-|X-I|^2 =3\lambda^2-3\left(\lambda-\frac13\right)^2 =2\lambda-\frac13.$$ 従って $1/6=2\lambda-1/3$、すなわち $\lambda=1/4$。よって球面の半径は $$\displaystyle R=\sqrt{3\left(\frac14\right)^2}=\frac{\sqrt3}{4}.$$ **答え：断面円の半径は $\sqrt{1/6}$、球面の半径は $\sqrt3/4$。**

最終答案

$$\boxed{\text{ク}=1,\quad\text{ケ}=6,\quad \text{コ}=3,\quad\text{サ}=4}$$

使用解法

正三角形の辺長と内接円半径、平面断面の円の中心・半径と球の中心・半径の関係を用いた。

issues

なし。