東邦大学 2022年数学第2問解答・解説

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1問題

東邦大学2022年度第2問

共通解答指示：問題は1から10までの10問である。問題文中の連続する空欄（例：アイ，ウエオ）には符号 $(-)$ または数字 $(0\text{--}9)$ が入り，各カタカナは符号または数字の一つに対応する。分数は既約形で答え，符号は分子につける。根号を含む答えは，根号内の自然数が最小となる形で答える。

2. 座標平面上の2つの放物線 $y=x^{2}+3x+4k+3,\qquad y=x^{2}-2kx-3$ は共有点を1つだけもつ。その共有点が $x$ 軸上の点であるとき，定数 $k$ の値は $\displaystyle k=\frac{\boxed{\text{カ}}\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ であり，共有点の座標は $\left(\boxed{\text{ケ}}\boxed{\text{コ}},0\right)$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \boxed{k=-\frac14,\qquad\text{共有点}=(-2,0)}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

東邦大学 2022年度第2問

問題ID: MM-988468583aaf-Q2

二つの放物線の $y$ 座標を等しくすると $x^2+3x+4k+3=x^2-2kx-3,$ すなわち $(2k+3)(x+2)=0.$ $\displaystyle k=-\frac32$ なら二つの式はともに $y=x^2+3x-3$ となり、共有点は無数にある。従って共有点が1つだけという条件では $\displaystyle k\neq-\frac32$ であり、唯一の共有点の $x$ 座標は $x=-2$ 。

このとき $y$ 座標は $(-2)^2+3(-2)+4k+3=1+4k.$ 共有点が $x$ 軸上にあるため $1+4k=0$ 、従って $\displaystyle k=-\frac14$ 。この値は $\displaystyle -\frac32$ ではなく、条件を満たす。共有点は $(-2,0)$ 。

最終答案

$\displaystyle \boxed{k=-\frac14,\qquad\text{共有点}=(-2,0)}$

使用解法

二つの関数の差を因数分解し、共有点の個数を場合分けしてから軸上条件を代入した。

issues

なし。

この問題で使う考え方

二次関数のグラフと頂点

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