4東邦大学 2022年 数学 第4問解答・解説

東邦大学 2022年度 第4問

問題ID: MM-988468583aaf-Q4

1回の操作では $\displaystyle \binom52=10$ 通りのカードの組から一様に1組を選ぶ。初めに左端は青なので、1回後も青であるのは、左端を含まない組 $\displaystyle \binom42=6$ 通り、または左端ともう1枚の青を入れ替える1通り。従って $$\displaystyle P_1=\frac{6+1}{10}=\frac7{10}.$$

次に、$n$ 回後に左端が青なら、左端を含まない6組と、左端と他方の青を選ぶ1組で、次も青のままになる。従って $$\displaystyle \Pr(\text{次も青}\mid\text{今青})=\frac7{10}.$$ 左端が白なら、他の4枚中に青が2枚ある。左端とその青のいずれかを入れ替える2組で次に左端が青になるから $$\displaystyle \Pr(\text{次に青}\mid\text{今白})=\frac2{10}.$$ 全確率の法則より $$\displaystyle \begin{aligned} P_{n+1} &=\frac7{10}P_n+\frac2{10}(1-P_n)\\ &=\frac12P_n+\frac15. \end{aligned}$$

最終答案

$$\displaystyle \boxed{P_1=\frac7{10},\qquad P_{n+1}=\frac12P_n+\frac15}$$

使用解法

5枚から選ぶ組の数を場合分けし、左端の色に関する全確率の法則を用いた。

issues

なし。