6東邦大学 2022年 数学 第6問解答・解説

数列の一般項は $a_k=14-3(k-1)=17-3k$。$a_{13}=-22$ で $a_{14}=-25$ だから項は13個である。異なる2項の選び方は $$\displaystyle \binom{13}{2}=78.$$ 従って $\boxed{\text{シス}}=78$。

全項の和は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{13}a_k=\frac{13(14-22)}2=-52.$$ また $a_k=14-3j\ (j=0,\ldots,12)$ と書くと $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{13}a_k^2 =13\cdot14^2-84\sum\limits _{j=0}^{12}j+9\sum\limits _{j=0}^{12}j^2 =2548-6552+5850=1846.$$ 異なる2項の積の総和を $T$ とすれば $$\displaystyle 2T=\left(\sum a_k\right)^2-\sum a_k^2, \qquad T=\frac{(-52)^2-1846}{2}=429.$$ よって $\boxed{\text{センタ}}=429$。

項数は $13$ で、異なる2項の選び方は $78$ 通り。全項和 $-52$、平方和 $1846$ を求め、二項積の総和を $\displaystyle \frac{(\text{和})^2-\text{平方和}}2$ で計算して $429$ を得る。