3北里大学 2022年 数学 第3問解答・解説

操作後に箱 $A$ が置かれる確率を $a_n$、箱 $B$ が置かれる確率を $b_n$ とする。初めは箱 $A$ なので、0回後は $A$ にいる確率が1、$B$ にいる確率が0である。箱 $A$ からは赤玉または青玉がそれぞれ確率 $\displaystyle \frac12$ で出る。箱 $B$ からは白玉が確率 $\displaystyle \frac34$、青玉が確率 $\displaystyle \frac14$ で出る。

(1) 常に箱は $A,B$ のいずれか一方なので $$b_n=1-a_n.$$ $n+1$ 回目の操作後に箱 $A$ となるのは、$n$ 回後に $A$ が置かれ赤玉を引く場合、または $B$ が置かれ白玉を引く場合である。従って $$\displaystyle a_{n+1}=\frac12a_n+\frac34b_n =\frac34-\frac14a_n.$$

(2) 漸化式の定数項から不動値を $\displaystyle \frac35$ とすると $$\displaystyle a_{n+1}-\frac35=-\frac14\left(a_n-\frac35\right).$$ 最初の操作では $\displaystyle a_1=\frac12$ だから $$\displaystyle a_n-\frac35=\left(a_1-\frac35\right)\left(-\frac14\right)^{n-1} =-\frac1{10}\left(-\frac14\right)^{n-1}.$$ よって $$\displaystyle a_n=\frac35+\frac25\left(-\frac14\right)^n.$$

(3) 白玉を一度も引かず、$n$ 回後に箱 $A$ にいる確率を $u_n$、箱 $B$ にいる確率を $v_n$ とする。初期値は $u_0=1,v_0=0$ であり $$\displaystyle u_{n+1}=\frac12u_n,\qquad v_{n+1}=\frac12u_n+\frac14v_n.$$ 従って $u_n=2^{-n}$ であり、漸化式を繰り返し代入すると $$\displaystyle v_n=\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac14\right)^{n-1-j}\left(\frac12\right)^{j+1} =2^{1-n}-2^{1-2n}.$$ 求める確率は $u_n+v_n$ だから $$u_n+v_n=3\cdot2^{-n}-2^{1-2n}=3\cdot2^{-n}-2\cdot4^{-n}.$$

(4) まず白玉を一度も引かず $j$ 回後に $B$ にいる確率は $v_j=2^{1-j}-2^{1-2j}$ である。次の1回で白玉を引く確率は $\displaystyle \frac34$ で、その直後には箱 $A$ に戻る。その後 $n-1-j$ 回白玉を引かない確率は (3) より $$p_{n-1-j}=3\cdot2^{-(n-1-j)}-2^{1-2(n-1-j)}.$$ 白玉を引く回を $j+1$ 回目（$j=0,1,\ldots,n-1$）と場合分けすると、ちょうど1回白玉を引く確率は $$\displaystyle \frac34\sum\limits _{j=0}^{n-1}v_jp_{n-1-j} =\frac34\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(2^{1-j}-2^{1-2j}\right) \left(3\cdot2^{-(n-1-j)}-2^{1-2(n-1-j)}\right).$$ 等比数列の和を計算すると $$\displaystyle \frac{9n-30}{2^n}+\frac{12n+30}{4^n}.$$ 検算 $n=1$ のとき (3) は確率1、(4) は0となり、初回は箱Aから引くので白玉が出ないことと一致する。$n=2$ では (4) は $\displaystyle \frac38$ であり、初回に青玉（確率$\displaystyle \frac12$）を引いてBへ移り、2回目に白玉（確率$\displaystyle \frac34$）を引く確率と一致する。