3大分大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) 最初の1歩では，頂点Aにつながる3本の辺のいずれかを同じ確率で選ぶので，Aに戻ることはできず，B，C，Dのそれぞれに達する確率は$\displaystyle \frac13$である。したがって，$$\displaystyle P_1(A)=0,\qquad P_1(B)=P_1(C)=P_1(D)=\frac13.$$ (2) 2本の辺を伝ってAに達する経路は，AからB，C，Dのいずれかへ進み，そこからAへ戻る経路である。各経路の確率は$\displaystyle \frac13\cdot\frac13$=$\displaystyle \frac19$であり，3通りあるから，$$\displaystyle P_2(A)=3\cdot\frac19=\frac13.$$ 2本の辺を伝ってBに達するには，AからCまたはDへ進んでからBへ進む。各経路の確率は$\displaystyle \frac19$であり，2通りあるから，$$\displaystyle P_2(B)=2\cdot\frac19=\frac29.$$ (3) n本の辺を伝った後にB，C，Dにいる確率は，対称性により等しいものとし，それをq_nとおく。またp_n=P_n(A)とする。頂点はA，B，C，Dのいずれかなので，$$p_n+3q_n=1.$$ Aに達するには，直前にB，C，Dのいずれかにいて，そこからAへ進む必要がある。各頂点からAへ進む確率は$\displaystyle \frac13$だから，$$\displaystyle p_{n+1}=3q_n\cdot\frac13=q_n=\frac{1-p_n}{3}.$$ 出発時にはp_0=1である。したがって，$$\displaystyle p_{n+1}-\frac14=-\frac13\left(p_n-\frac14\right),$$ よって{p_n-$\displaystyle \frac14$}は初項$\displaystyle \frac34$，公比-$\displaystyle \frac13$の等比数列である。したがって，$$\displaystyle P_n(A)=p_n=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^n\quad(n\ge1).$$ 実際，n=1では0，n=2では$\displaystyle \frac13$となり，(1)，(2)と一致する。また$\displaystyle \left| -\frac13\right|$<1より$\displaystyle \left(-\frac13\right)^n$$\to$0だから，$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}P_n(A)=\frac14.$$