1大分大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$f(x)=x-\log x$ である。　 (1) $1\leq x\leq2$ とする。$g(x)=x-1-\log x$ とおくと、$g(1)=0$、$\displaystyle g'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}\geq0$ であるから、$g(x)\geq0$ である。また、$\displaystyle h(x)=\log x-\frac{x-1}{2}$ とおくと、$h(1)=0$、$\displaystyle h'(x)=\frac1x-\frac12=\frac{2-x}{2x}\geq0$ であるから、$h(x)\geq0$ である。したがって、$\log x\leq x-1$ および $\displaystyle \log x\geq\frac{x-1}{2}$ より、$$\displaystyle 0\leq f(x)-1=x-1-\log x\leq\frac{x-1}{2}.$$　 (2) (1) を用いて、数学的帰納法により $0\leq a_n-1\leq2^{-(n-1)}$ を示す。$n=1$ では $a_1=2$ より成立する。ある $n$ で成立すると、$1\leq a_n\leq2$ なので (1) から $$\displaystyle 0\leq a_{n+1}-1=f(a_n)-1\leq\frac{a_n-1}{2}\leq2^{-n}$$ となる。よってすべての $n\geq1$ で成立する。$2^{-(n-1)}\to0$ だから、はさみうちの原理により $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}a_n=1$ である。　 (3) $a_n>0$ であり、$b_n$ も正である。漸化式から $a_{k+1}=a_k-\log a_k$、すなわち $\log a_k=a_k-a_{k+1}$ である。また $b_{n+1}=a_{n+1}b_n$ と $b_1=a_1$ より $\displaystyle b_n=\prod\limits _{k=1}^{n}a_k$ だから、$$\displaystyle \log b_n=\sum\limits _{k=1}^{n}\log a_k=\sum\limits _{k=1}^{n}(a_k-a_{k+1})=a_1-a_{n+1}=2-a_{n+1}.$$ よって $b_n=e^{2-a_{n+1}}$ であり、(2) と指数関数の連続性から $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}b_n=e$ となる。