2大分大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) 2つの楕円の方程式を引くと $$\displaystyle \left(\frac1{a^2}-\frac1{b^2}\right)(x^2-y^2)=0$$ となる。$a\ne b$ より係数は $0$ でないから、交点では $x^2=y^2$ である。第1象限の交点なので $x=y$。これをいずれかの楕円の方程式に代入すると $$\displaystyle x^2\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right)=1,$$ したがって $\displaystyle x=y=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である。よって $$\displaystyle c=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

(2) $a,b>0$ なので $0<c<a$ かつ $0<c<b$ である。領域の上端をそれぞれ表すと $$\displaystyle S_1=\int_0^c b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,dx,\qquad S_2=\int_0^c a\sqrt{1-\frac{x^2}{b^2}}\,dx.$$ まず $x=a\sin\theta$ とおくと、$0\leq\theta\leq\alpha$、ただし $\displaystyle \alpha=\arctan\dfrac ba$ であり、 $$\displaystyle S_1=ab\int_0^\alpha\cos^2\theta\,d\theta =\frac{ab}{2}\left(\alpha+\sin\alpha\cos\alpha\right) =\frac{ab}{2}\left(\arctan\frac ba+\frac{ab}{a^2+b^2}\right).$$ 同様に $x=b\sin\phi$、$0\leq\phi\leq\beta$、$\displaystyle \beta=\arctan\dfrac ab$ とおけば $$\displaystyle S_2=\frac{ab}{2}\left(\arctan\frac ab+\frac{ab}{a^2+b^2}\right).$$ $a,b>0$ より $\displaystyle \arctan\dfrac ba+\arctan\dfrac ab=\dfrac\pi2$ である。以上を加えて $$\displaystyle S_1+S_2=\frac{ab}{2}\left(\frac\pi2+\frac{2ab}{a^2+b^2}\right) =\frac{\pi ab}{4}+\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}.$$