1東京医科歯科大学 2002年 数学 第1問解答・解説

% 個別IDディレクトリを作業ディレクトリとして組版。本文は作者の最新ファイルを参照する。 $P=(x,y,0)$ とおく。

$(1)$ では $$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,0,-1),\qquad \overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x,y,-1).$$ したがって条件は $$\displaystyle 1\ge \frac{\sqrt3}{2}\sqrt{x^2+y^2+1} \quad\text{と同値な条件は}\quad x^2+y^2\le\frac13.$$ よって $D$ は原点中心、半径 $1/\sqrt3$ の閉円盤である。

$(2)$ では $$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,0,-\sqrt3),\quad |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x,y,-\sqrt3).$$ ゆえに条件は $$x+3\ge\sqrt3\sqrt{x^2+y^2+3}.$$ 右辺は正なので、左辺も正である。両辺を二乗すると $$\displaystyle (x+3)^2\ge3(x^2+y^2+3) \quad\text{と同値な条件は}\quad \left(x-\frac32\right)^2+\frac32y^2\le\frac94.$$ この領域では $0\le x\le3$ だから $x+3>0$ であり、二乗による同値変形に余分な点はない。したがって $D$ は中心 $(3/2,0)$、$x$ 方向の半軸 $3/2$、$y$ 方向の半軸 $\sqrt{3/2}=\sqrt6/2$ の閉楕円である。

半軸が $a,b$ の楕円の面積は、標準形で縦の長さを積分すれば $$\displaystyle \int_{-a}^{a}2b\sqrt{1-\frac{\xi^2}{a^2}}\,d\xi =2ab\int_{-1}^{1}\sqrt{1-s^2}\,ds =2ab\cdot\frac{\pi}{2} =\pi ab$$ となる。よって $(2)$ の面積は $$\displaystyle \pi\cdot\frac32\cdot\frac{\sqrt6}{2} =\frac{3\sqrt6\pi}{4}.$$

$(3)$ では $$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(\sqrt2,\sqrt2,-2\sqrt3),\quad |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x,y,-2\sqrt3).$$ 座標を $$\displaystyle s=\frac{x+y}{\sqrt2},\qquad t=\frac{x-y}{\sqrt2}$$ とおく。この変換は45度回転と軸の向きの反転を組み合わせたものなので面積を保ち、 $x^2+y^2=s^2+t^2$ である。また $$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2s+12.$$ したがって条件は $$2s+12\ge2\sqrt3\sqrt{s^2+t^2+12}.$$ 左辺は正である。両辺を二乗して整理すると $$\displaystyle (s+6)^2\ge3(s^2+t^2+12) \quad\text{と同値な条件は}\quad (s-3)^2+\frac32t^2\le9.$$ この領域では $0\le s\le6$ となるので、二乗前の左辺の符号条件も満たす。よって半軸は $s$ 方向に $3$、$t$ 方向に $\sqrt6$ である。$xy$ 座標では $$\displaystyle \frac{(x+y-3\sqrt2)^2}{18}+\frac{(x-y)^2}{12}\le1$$ で、中心は $(3/\sqrt2,3/\sqrt2)$、主軸の方向はそれぞれ $y=x$、$y=-x$ である。この座標変換は面積を保つから $$\operatorname{Area}(D)=\pi\cdot3\cdot\sqrt6=3\sqrt6\pi.$$

(1) 原点中心の閉円盤。(2) 中心 $(3/2,0)$ の閉楕円。青色の内部と実線の境界をすべて含む。