東京医科歯科大学 2002年数学第2問解答・解説

いろいろな式微分・積分の考え微分法

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1問題

東京医科歯科大学2002年度第2問

以下の各問いに答えよ。

(1) xy 平面上の曲線 y=(x- $\alpha$ )^2(x- $\beta$ ) ( $\alpha$ , $\beta$ は定数) の変曲点の座標を $\alpha$ , $\beta$ を用いて表せ。

(2) xy 平面上の曲線 C: y=x^3-3x^2+ax+b (a, b は定数) を考える。曲線 C 上の点 P における C の接線が P と異なる点 Q において C と交わり, Q における C の接線が Q と異なる点 R において C と交わっているとする。P, R の x 座標をそれぞれ p, r とするとき, p を用いて r を表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad \left(\frac{2\alpha+\beta}{3},\frac{2(\alpha-\beta)^3}{27}\right)\quad$ 。 (2) $\quad r=4p-3\quad$ （ $\quad p\ne1\quad$ ）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $y=(x-\alpha)^2(x-\beta)$ について $\displaystyle y''=6x-2(2\alpha+\beta),\qquad x=\frac{2\alpha+\beta}{3}$ が変曲点の横座標である。代入すると縦座標は $2(\alpha-\beta)^3/27$ 。

(2) $f(x)=x^3-3x^2+ax+b$ 上の横座標 $t$ の点における接線を $T_t$ とする。差は $f(x)-T_t(x)=(x-t)^2(x+2t-3).$ よって接点以外の交点の横座標は $3-2t$ 。順に適用すれば $q=3-2p,\qquad r=3-2q=4p-3.$ 点が異なるという条件から $p\ne1$ 。

二階微分から変曲点を求め、接線と三次曲線の差を因数分解して交点の横座標を反復する。

この問題で使う考え方

二階微分
接線差の因数分解
交点写像の反復

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