3大分大学 2010年 数学 第3問解答・解説

多項式 $P(t)=a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1t+a_0$ を考える。

(1) $y=e^{rx}$ とおくと、$y^{(m)}=r^m e^{rx}$ であるから、(A) の左辺は $$e^{rx}(a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0)=e^{rx}P(r)=0$$ となる。よって $y=e^{rx}$ は (A) を満たす。

(2) $P'(t)=na_nt^{n-1}+(n-1)a_{n-1}t^{n-2}+\cdots+2a_2t+a_1$ であり、これは問題の方程式の左辺である。仮定より $P(t)=(t-r)^kQ(t)$ と書けるので、積の微分法から $$P'(t)=k(t-r)^{k-1}Q(t)+(t-r)^kQ'(t)=(t-r)^{k-1}\{kQ(t)+(t-r)Q'(t)\}.$$ したがって $P'(t)=0$ の左辺は $(t-r)^{k-1}$ を因数にもつ。よって定義により、示された方程式は $r$ を少なくとも $k-1$ 重解にもつ。

(3) $y_j=xy_{j-1}$ である。任意の関数 $v$ について、積の微分法を繰り返すと $$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}(xv)=xv^{(n)}+nv^{(n-1)}$$ となる（$n=1$ では積の微分法そのものであり、両辺をさらに微分すれば次の $n$ についても成り立つ）。ここで $v=y_{j-1}$ とすれば $$y_j^{(n)}=x y_{j-1}^{(n)}+n y_{j-1}^{(n-1)}.$$

(4) $P(t)=(t-r)^kQ(t)$ であるから、$0\le m<k$ に対して $P^{(m)}(r)=0$ である。実際、右辺を $m$ 回微分した各項には、$k$ 個ある因子 $(t-r)$ のうち少なくとも $k-m\ge1$ 個が残るので、$t=r$ を代入すると $0$ になる。

任意の多項式 $g(x)$ について、積の微分法を繰り返すと $$\displaystyle \frac{d^j}{dx^j}\{e^{rx}g(x)\}=e^{rx}\sum\limits _{m=0}^{j}\binom{j}{m}r^{j-m}g^{(m)}(x)$$ となる。これを $a_j$ 倍して $j=0,1,\ldots,n$ について足すと、二項係数の定義から $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{j=0}^{n}a_j\frac{d^j}{dx^j}\{e^{rx}g(x)\} &=e^{rx}\sum\limits _{m=0}^{n}\left(\sum\limits _{j=m}^{n}a_j\binom{j}{m}r^{j-m}\right)g^{(m)}(x)\\ &=e^{rx}\sum\limits _{m=0}^{n}\frac{P^{(m)}(r)}{m!}g^{(m)}(x). \end{aligned}$$ ここで $g(x)=x^i$ とし、$0\le i\le k-1$ とする。$m>i$ なら $g^{(m)}(x)=0$ であり、$0\le m\le i<k$ なら $P^{(m)}(r)=0$ である。したがって上式の右辺は $0$ となる。左辺は $y_i=x^i e^{rx}$ を (A) の左辺に代入したものだから、すべての $i=0,1,\ldots,k-1$ について $y_i$ は (A) を満たす。