3筑波大学 2009年 数学 第3問解答・解説

(1) 元の等式を微分すると $$f(x)-1+xf'(x)=2e^{-x}g(x) \tag{*}$$ を得る。また定義から $g'(x)=e^xf(x)$ である。(*)をもう一度微分すると $$2f'(x)+xf''(x)=2\bigl(f(x)-e^{-x}g(x)\bigr) =2f(x)-\bigl(f(x)-1+xf'(x)\bigr).$$ 整理して $xf''(x)+(x+2)f'(x)-f(x)=1$ を得る。

(2) $f$ が次数 $n\ge2$ の多項式で、最高次係数が $a\ne0$ とする。左辺の $x^n$ の係数は、$xf''$ からは寄与せず、$(x+2)f'$ と $-f$ からそれぞれ $na$ と $-a$ が寄与する。したがってその係数は $(n-1)a\ne0$ であり、左辺が定数 $1$ に等しいことに反する。よって $f$ の次数は高々1である。

(3) (*) に $x=0$ を代入し、$g(0)=0$ を用いると $f(0)=1$。したがって (2) より $f(x)=ax+1$ とおける。これを (1) に代入すると $2a-1=1$ なので $a=1$。ゆえに $f(x)=x+1$。さらに $$\displaystyle g(x)=\int_0^x e^t(t+1)\,dt=xe^x,$$ （$(xe^x)'=(x+1)e^x$）である。実際、右辺は $\displaystyle 2\int_0^x t\,dt=x^2$、左辺も $x((x+1)-1)=x^2$ となる。