1筑波大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1) 加法定理と二倍角の公式を用いると $$\begin{aligned} \cos3\theta &=\cos(2\theta+\theta)\\ &=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta\\ &=(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta\\ &=2\cos^3\theta-\cos\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta\\ &=4\cos^3\theta-3\cos\theta. \end{aligned}$$

(2) $x=2\cos80^\circ$ とおく。(1) より $$\displaystyle \begin{aligned} x^3-3x+1 &=8\cos^3 80^\circ-6\cos80^\circ+1\\ &=2\cos240^\circ+1\\ &=2\left(-\frac12\right)+1=0. \end{aligned}$$ したがって $2\cos80^\circ$ は与えられた三次方程式の解である。

(3) 任意の角 $\theta$ に対し、(1) から $$(2\cos\theta)^3-3(2\cos\theta)+1=2\cos3\theta+1.$$ よって $2\cos\theta$ がこの方程式の解となる条件は $\cos3\theta=-1/2$ である。$0^\circ<\theta<180^\circ$ のとき $0^\circ<3\theta<540^\circ$ であり、この範囲で $\cos3\theta=-1/2$ となるのは $3\theta=120^\circ,240^\circ,480^\circ$ である。したがって解に対応する角は $40^\circ,80^\circ,160^\circ$。三つの根は相異なり、この三次式はモニックなので $$x^3-3x+1=(x-2\cos40^\circ)(x-2\cos80^\circ)(x-2\cos160^\circ).$$ 指定の順序 $0^\circ<\alpha<\beta<180^\circ$ より $\alpha=40^\circ,\ \beta=160^\circ$。