4筑波大学 2009年 数学 第4問解答・解説

(1) $\sqrt2$ が有理数であると仮定し、互いに素な正の整数 $m,n$ を用いて $\sqrt2=m/n$ と表す。このとき $$m^2=2n^2$$ なので $m^2$ は偶数であり、$m$ は偶数である。$m=2k$ とおくと $n^2=2k^2$ となり、同様に $n$ も偶数である。これは $m,n$ が互いに素であることに矛盾する。したがって $\sqrt2$ は無理数である。

(2) 与式に $5+\sqrt2$ を掛けると $$(5+\sqrt2)^{n+1} =(5+\sqrt2)(a_n+b_n\sqrt2) =(5a_n+2b_n)+(a_n+5b_n)\sqrt2.$$ よって $$a_{n+1}=5a_n+2b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+5b_n.$$ また $n=1$ のとき $a_1=5,\ b_1=1$ である。

(3) (2) の漸化式より $$a_{n+1}+pb_{n+1}=(5+p)a_n+(2+5p)b_n.$$ したがって条件は $$(5+p-q)a_n+(2+5p-pq)b_n=0\qquad(n\ge1)$$ である。$a_1=5,\ b_1=1$ および $a_2=27,\ b_2=10$ を用いると、係数 $X=5+p-q,\ Y=2+5p-pq$ は $$5X+Y=0,\qquad 27X+10Y=0$$ を満たす。第1式を10倍した式から第2式を引くと $23X=0$ となるので $X=0$、さらに第1式から $Y=0$。ゆえに $$q=5+p,\qquad pq=2+5p.$$ これらから $p^2=2$ となるので、求める2組は $$(p,q)=(\sqrt2,5+\sqrt2),\qquad(-\sqrt2,5-\sqrt2)$$ である。

(4) $u_n=a_n+\sqrt2\,b_n,\ v_n=a_n-\sqrt2\,b_n$ とおく。(2) の漸化式と初項から $$u_{n+1}=(5+\sqrt2)u_n,\quad u_1=5+\sqrt2, \qquad v_{n+1}=(5-\sqrt2)v_n,\quad v_1=5-\sqrt2.$$ したがって $$u_n=(5+\sqrt2)^n,\qquad v_n=(5-\sqrt2)^n.$$ $a_n=(u_n+v_n)/2,\ b_n=(u_n-v_n)/(2\sqrt2)$ より $$\displaystyle a_n=\frac{(5+\sqrt2)^n+(5-\sqrt2)^n}{2},\qquad b_n=\frac{(5+\sqrt2)^n-(5-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.$$