5筑波大学 2009年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle q=(a-1)^2+(a-2)^2=2\left(a-\frac32\right)^2+\frac12>0.$$ $$\begin{aligned} A^2&=\begin{pmatrix}(a-1)^2+(a-2)^2&0\\0&(a-1)^2+(a-2)^2\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}q&0\\0&q\end{pmatrix}=qI. \end{aligned}$$ (1) $P_1=(a-1,a-2)$, $Q_1=(a-2,1-a)$ なので、$$P_1Q_1=\sqrt{\{(a-1)-(a-2)\}^2+\{(a-2)-(1-a)\}^2}=\sqrt{1+(2a-3)^2}=\sqrt{4a^2-12a+10}.$$ (2) $n=2k$ のとき $A^n=(A^2)^k=q^kI=q^{n/2}I$、$n=2k+1$ のとき $A^n=(A^2)^kA=q^kA=q^{(n-1)/2}A$ である。したがって$$A^n=\begin{cases}q^{n/2}I&(n\text{ が偶数}),\\q^{(n-1)/2}A&(n\text{ が奇数}).\end{cases}$$ (3) $A$ の2列 $(a-1,a-2)$, $(a-2,1-a)$ は内積が $0$ で、それぞれの長さは $\sqrt q$ である。偶数の場合は $A^n=q^{n/2}I$ の2列の長さが $q^{n/2}$、奇数の場合は $A^n=q^{(n-1)/2}A$ の2列の長さが $q^{(n-1)/2}\sqrt q=q^{n/2}$ となり、どちらも列どうしは直交する。よって$$\displaystyle P_nQ_n=\sqrt{2}\,q^{n/2}=\sqrt{2}\left\{2\left(a-\frac32\right)^2+\frac12\right\}^{n/2}.$$ $n\ge1$ では $q^{n/2}$ は $q>0$ に関して増加し、$q$ は $\displaystyle a=\frac32$ のとき最小値 $\displaystyle \frac12$ をとる。したがって、$a$ が実数全体を動くときの最小値は$$\displaystyle \min P_nQ_n=\sqrt2\left(\frac12\right)^{n/2}=2^{(1-n)/2},$$ 最小値は $\displaystyle a=\frac32$ で得られる。