2筑波大学 2009年 数学 第2問解答・解説

$u=\sqrt t$ とおくと、$D_t$ は $P=(0,y,t)$（$-u\le y\le u$）で表される線分である。回転軸上の点は $(1,1,t)$ なので、$P$ との距離 $d$ は $$d^2=1+(y-1)^2$$ を満たす。

(1) $d^2$ は $y=1$ から遠いほど大きい。$-u\le y\le u$ の範囲で最も遠い端点は常に $y=-u$ だから、$\displaystyle d_{\max}(t)=\sqrt{1+(1+u)^2}$。最小値は、$u\le1$ なら $y=u$ で取り、$u\ge1$ なら区間に含まれる $y=1$ で取る。したがって $$\displaystyle d_{\min}(t)=\begin{cases}\sqrt{1+(1-u)^2}&(0\le t\le1),\\1&(1\le t\le4).\end{cases}$$

(2) 線分を軸のまわりに回転すると、半径が $\displaystyle d_{\min}$ から $\displaystyle d_{\max}$ までの円環になる。よって $\displaystyle S(t)=\pi(d_{\max}^2-d_{\min}^2)$。$0\le t\le1$ では差は $(1+(1+u)^2)-(1+(1-u)^2)=4u$、$1\le t\le4$ では差は $1+(1+u)^2-1=(1+u)^2$ であるから、 $$S(t)=\begin{cases}4\pi\sqrt t&(0\le t\le1),\\\pi(1+\sqrt t)^2&(1\le t\le4).\end{cases}$$

(3) 断面積を $z=t$ について積分する。 $$\displaystyle \begin{aligned}V&=\int_0^1 4\pi\sqrt t\,dt+\int_1^4\pi(1+\sqrt t)^2\,dt\\&=\frac{8\pi}{3}+\pi\left[t+\frac43t^{3/2}+\frac{t^2}{2}\right]_1^4\\&=\frac{8\pi}{3}+\frac{119\pi}{6}=\frac{45\pi}{2}. \end{aligned}$$