6京都大学 2020年 数学 第6問解答・解説

最初に曲線をz軸のまわりに回転した面は、$0\le r\le1,\ 0\le\theta<2\pi$ を用いて $$(x,y,z)=\bigl(r\cos\theta,r\sin\theta,\sqrt{\log(1+r)}\bigr)$$ と表せる。次の回転の軸方向座標 $x$ を固定すると、曲面上の点では $|x|\le r\le1$ であり、$x=r\cos\theta$ だから、x軸からの距離 $\rho$ は $$\rho^2=y^2+z^2=r^2-x^2+\log(1+r)$$ を満たす。

右辺は $r$ について $$\displaystyle \frac{d}{dr}\rho^2=2r+\frac{1}{1+r}>0$$ となるので、$|x|\le r\le1$ で増加する。よって$-1\le x\le1$ を満たす $x$ を固定した断面は、内半径と外半径がそれぞれ $$\rho_{\mathrm{in}}^2=\log(1+|x|),\qquad \rho_{\mathrm{out}}^2=1-x^2+\log2$$ である円環である。その面積は $$A(x)=\pi\{1-x^2+\log2-\log(1+|x|)\}.$$

したがって、$x$ と $-x$ の断面積が等しいことから $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\int_{-1}^{1}A(x)\,dx\\ &=2\pi\int_0^1\{1-x^2+\log2-\log(1+x)\}\,dx. \end{aligned}$$ ここで $$\displaystyle \int_0^1\log(1+x)\,dx=\bigl[(1+x)\log(1+x)-(1+x)\bigr]_0^1=2\log2-1$$ だから $$\displaystyle \boxed{V=2\pi\left(\frac53-\log2\right)}.$$