3名古屋大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned}\text{(1)}\quad &\text{回転中心の軌跡は半径 }1\text{、中心角 }\alpha\text{ の円弧である。}\ 0\leq\theta\leq\alpha\text{ の方向では、}\rho\text{ と中心円との距離が }|\rho-1|\text{ なので、}\ 1-r\leq\rho\leq1+r.\\ &\text{この部分の面積は}\quad \frac{\alpha}{2}\bigl((1+r)^2-(1-r)^2\bigr)=2r\alpha.\\ &\text{円弧の両端では、円弧の外側に半径 }r\text{ の半円が各 }1\text{ 個ずつ付く。}\ r\leq1,\ \alpha<\pi\text{ よりこれらの外側部分は重ならず、合計面積は }\pi r^2.\\ &\therefore\quad S=2r\alpha+\pi r^2.\\[2mm]\text{(2)}\quad &z\text{ を固定すると、球の断面半径は }s=\sqrt{R^2-z^2}\ (|z|\leq R)\text{ であり、中心は(1)と同じ円弧上を動く。}\ s\leq R\leq1\text{ なので、(1)よりこの断面の面積は }A(z)=2\alpha\sqrt{R^2-z^2}+\pi(R^2-z^2).\\ &V=\int_{-R}^{R}A(z)\,dz=2\alpha\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-z^2}\,dz+\pi\int_{-R}^{R}(R^2-z^2)\,dz.\\ &\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-z^2}\,dz=\frac{\pi R^2}{2},\qquad \int_{-R}^{R}(R^2-z^2)\,dz=\frac{4R^3}{3}.\\ &\therefore\quad V=\pi R^2\alpha+\frac{4\pi R^3}{3}.\end{aligned}$$