5九州大学 2020年 数学 第5問解答・解説

agraph{(1)} 円柱の底面の条件は $x^2+(y-2)^2\le1$ である。$x$ 軸上の点は $y=z=0$ を満たし、これと $(0,2,2)$ を含む平面は $y=z$ である。底面 $D$ は $z=0$ かつ $1\le y\le3$ にあるから、$D$ を含む側は $y\ge z$ である。

$-1\le t\le1$ とし、$r=\sqrt{1-t^2}$ とおく。平面 $x=t$ での円柱の範囲は $2-r\le y\le2+r$ である。また、この範囲では $1\le y\le3$ なので、$T$ 内の $z$ の範囲は $0\le z\le y$ となる。したがって断面積は $$\displaystyle S(t)=\int_{2-r}^{2+r}y\,dy =\frac{(2+r)^2-(2-r)^2}{2}=4r=4\sqrt{1-t^2}.$$ よって、断面積を $x$ について積分すると $$\displaystyle \operatorname{Vol}(T)=\int_{-1}^{1}S(t)\,dt =4\int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}\,dt=4\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi.$$ 最後の積分は半径 $1$ の半円の面積である。

agraph{(2)} 同じく $r=\sqrt{1-t^2}$ とし、$a=2-r$, $b=2+r$ とおく。$x=t$ における $T$ の断面では $a\le y\le b$, $0\le z\le y$ である。$x$ 軸からの距離を $\rho=\sqrt{y^2+z^2}$ とすると、固定した $y$ に対して $y\le\rho\le\sqrt2y$ である。したがって回転後の断面で取り得る半径は $a\le\rho\le\sqrt2b$ である。実際、$a\le\rho\le b$ なら $y=\rho,z=0$ とでき、$b\le\rho\le\sqrt2b$ なら $y=b,z=\sqrt{\rho^2-b^2}\le b$ とできる。また、$y\ge a$ と $z\le y\le b$ よりこれより小さい半径・大きい半径は生じない。ゆえに回転後の断面は内半径 $a$, 外半径 $\sqrt2b$ の円環であり、その面積は $$\pi\bigl((\sqrt2b)^2-a^2\bigr)=\pi(2b^2-a^2).$$ ここで $$2b^2-a^2=2(2+r)^2-(2-r)^2=4+12r+r^2=5-t^2+12\sqrt{1-t^2}.$$ よって回転体の体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_{-1}^{1}\left(5-t^2+12\sqrt{1-t^2}\right)dt\\ &=\pi\left(10-\frac23+12\cdot\frac\pi2\right) =\frac{28\pi}{3}+6\pi^2. \end{aligned}$$ ここでも $\displaystyle \int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}\,dt=\pi/2$ は半径 $1$ の半円の面積である。