1九州大学 2020年 数学 第1問解答・解説

曲線 $C:\ y=f(x)=e^{-x}-e^{-2x}$ 上の接点を $(t,\,f(t))$ とし，点 $(a,0)$ を通る $C$ の接線が存在するような $t$ が取れる条件として $a$ の範囲を求める。　 $f'(x)=-e^{-x}+2e^{-2x}$ であるから，点 $(t,f(t))$ における接線は $$y-f(t)=f'(t)(x-t)$$ である。これが $(a,0)$ を通るとき $$-f(t)=f'(t)(a-t) \quad \cdots (\ast)$$ が成り立つ。　 まず $f'(t)=0$ となる $t$ を調べる。$u=e^{-t}\,(u>0)$ とおくと $$f(t)=u-u^{2}=u(1-u),\qquad f'(t)=-u+2u^{2}=u(2u-1)$$ より，$\displaystyle f'(t)=0\text{、すなわち } u=\dfrac12\text{、すなわち } t=\log 2$。このとき $\displaystyle f(t)=\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14\neq0$ であるから，$t=\log 2$ での接線（水平線 $\displaystyle y=\tfrac14$）は $x$ 軸上のどの点も通らない。よって $(\ast)$ を考える上で $t\neq\log 2$ としてよく，このとき $f'(t)\neq0$ なので $$\displaystyle a=t-\frac{f(t)}{f'(t)}$$ と表せる。　 $u=e^{-t}$ を用いると $$\displaystyle \frac{f(t)}{f'(t)}=\frac{u(1-u)}{u(2u-1)}=\frac{1-u}{2u-1}\quad (u\neq 0\text{ で約分})$$ であるから，$t$ の関数として $$\displaystyle a(t)=t+\varphi(t),\qquad \varphi(t)=\frac{u-1}{2u-1}\quad(u=e^{-t})$$ とおける。$(\ast)$ を満たす $t$（$t\neq\log 2$）が存在することと，$a$ が関数 $a(t)$ の値域に属することは同値である。よって $a(t)$ の値域を求める。　 【増減の調査】 $\varphi$ を $u$ の関数とみて商の微分により $$\displaystyle \frac{d\varphi}{du}=\frac{(2u-1)-(u-1)\cdot2}{(2u-1)^{2}}=\frac{1}{(2u-1)^{2}}$$ であり，$\displaystyle \dfrac{du}{dt}=-u$（$u=e^{-t}$ の微分）だから，合成関数の微分により $$\displaystyle \varphi'(t)=\frac{d\varphi}{du}\cdot\frac{du}{dt}=-\frac{u}{(2u-1)^{2}}<0\qquad(u>0,\ u\neq \tfrac12)$$ すなわち $\varphi$ は定義される各区間で単調減少である。よって $$\displaystyle a'(t)=1+\varphi'(t)=\frac{(2u-1)^{2}-u}{(2u-1)^{2}}=\frac{4u^{2}-5u+1}{(2u-1)^{2}}=\frac{(4u-1)(u-1)}{(2u-1)^{2}}$$ となり，分母は正なので $a'(t)$ の符号は $(4u-1)(u-1)$ の符号と一致する。$u=e^{-t}$ は $t$ の減少関数（tが大きくなると値は必ず小さくなる）で， $$\displaystyle u=1\text{、すなわち } t=0,\qquad u=\tfrac12\text{、すなわち } t=\log2,\qquad u=\tfrac14\text{、すなわち } t=\log4=2\log2$$ である（$0<\log2<\log4$）。$u>0$ の範囲で符号を調べると $$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} u & u>1 & & \tfrac14<u<1,\ u\ne\tfrac12 & & 0<u<\tfrac14\\\hline (4u-1)(u-1) & + & & - & & + \end{array}$$ を $t$ に読み替えると $$\begin{array}{c|ccccccc} t & t<0 & 0 & 0<t<\log2 & \log2 & \log2<t<2\log2 & 2\log2 & t>2\log2\\\hline a'(t) & + & 0 & - & (\text{定義域外}) & - & 0 & + \end{array}$$ すなわち $a(t)$ は $t\le 0$ で単調増加，$0\le t<\log2$ と $\log2<t\le 2\log2$ でそれぞれ単調減少，$t\ge 2\log2$ で単調増加である。　 【境界値・極限】 $$\displaystyle a(0)=0+\frac{1-1}{2-1}=0$$ $$\displaystyle a(2\log2)=2\log2+\frac{\tfrac14-1}{\tfrac12-1}=2\log2+\frac{-\tfrac34}{-\tfrac12}=2\log2+\frac32$$ $t\to-\infty$ のとき $u=e^{-t}\to\infty$ で $\displaystyle \varphi(t)\to\dfrac12$（有限値）なので $a(t)=t+\varphi(t)\to-\infty$。　 $t\to\log2^{-}$（$\displaystyle u\to\tfrac12^{+}$）のとき，分母 $2u-1\to0^{+}$，分子 $\displaystyle u-1\to-\tfrac12$ より $\varphi(t)\to-\infty$，よって $a(t)\to-\infty$。　 $t\to\log2^{+}$（$\displaystyle u\to\tfrac12^{-}$）のとき，分母 $2u-1\to0^{-}$，分子 $\displaystyle u-1\to-\tfrac12$ より $\varphi(t)\to+\infty$，よって $a(t)\to+\infty$。　 $t\to\infty$ のとき $u\to0^{+}$ で $\displaystyle \varphi(t)\to\dfrac{0-1}{0-1}=1$ なので $a(t)=t+\varphi(t)\to+\infty$。　 【値域の合成】

・ $t\le0$：$a$ は $-\infty$ から単調増加して $a(0)=0$。値域 $a\le0$。

・ $0\le t<\log2$：$a$ は $a(0)=0$ から単調減少して $-\infty$。値域 $a\le0$。

・ $\log2<t\le2\log2$：$a$ は $+\infty$ から単調減少して $\displaystyle a(2\log2)=2\log2+\tfrac32$。値域 $\displaystyle a\ge2\log2+\tfrac32$。

・ $t\ge2\log2$：$a$ は $\displaystyle a(2\log2)=2\log2+\tfrac32$ から単調増加して $+\infty$。値域 $\displaystyle a\ge2\log2+\tfrac32$。

これらの和集合が，条件を満たす $t$ が存在する $a$ の全体（＝求める範囲）である： $$\displaystyle a\le0\quad\text{または}\quad a\ge\frac32+2\log2$$ （この間，$\displaystyle 0<a<\tfrac32+2\log2$ ではどの分枝の値域にも属さないので，対応する $t$ は存在しない。）　 【検算】$t=0$：接点 $(0,f(0))=(0,0)$，$f'(0)=1$ より接線は $y=x$。これは $(0,0)$ を通るので $a=0$ は確かに条件を満たす（接点自身が $x$ 軸上にある境界例）。　 $t=2\log2=\log4$：$\displaystyle u=\tfrac14$ より接点は $\displaystyle \left(\log4,\ \tfrac14-\tfrac1{16}\right)=\left(\log4,\ \tfrac3{16}\right)$，$\displaystyle f'(\log4)=-\tfrac14+\tfrac18=-\tfrac18$。接線は $\displaystyle y-\tfrac3{16}=-\tfrac18(x-\log4)$ で，$y=0$ とおくと $\displaystyle x=\log4+\tfrac32=2\log2+\tfrac32$ となり，境界値と一致する。　 以上より，求める $a$ の値の範囲は $$\displaystyle \boxed{a\le 0\ \text{または}\ a\ge \dfrac{3}{2}+2\log2}$$ である。