III順天堂大学 2020年 数学 第III問解答・解説

(1) 与えられた不等式で $n=3$ とすれば、$x>0$ に対して $e^x>x^3/6$。従って $$\displaystyle 0<\frac{x^2}{e^x}<\frac6x\longrightarrow0\quad(x\to\infty),$$ はさみうちの原理により極限は $0$。

(2) 接点の $x$ 座標を $t$ とすると、曲線 $F(x)=(1+x)e^x$ の導関数は $F'(t)=(t+2)e^t$。点 $t$ における接線が $(0,a)$ を通る条件は $$a=F(t)-tF'(t)=(1-t-t^2)e^t=:h(t).$$ 微分すると $h'(t)=-t(t+3)e^t$。よって $h$ は $t<-3$ で減少し、$-3<t<0$ で増加し、$t>0$ で減少する。値は $$\displaystyle \lim\limits _{t\to-\infty}h(t)=0^- ,\quad h(-3)=-5/e^3,\quad h(0)=1,\quad \lim\limits _{t\to\infty}h(t)=-\infty.$$ 従って高さ $a$ の水平線 $y=a$ との交点の個数は、$a<-5/e^3$ で1、$a=-5/e^3$ で2、$-5/e^3<a<0$ で3、$0\le a<1$ で2、$a=1$ で1、$a>1$ で0。 これらの接点が同じ接線を与える重複もない。実際、接線の傾き $m(t)=(t+2)e^t$ は $m'(t)=(t+3)e^t$ より $t=-3$ で最小となり、異なる同一傾きの接点は $t_1<-3<t_2<-2$ に限られる。このとき切片 $h$ は左側で $h(t_1)>h(-3)$、右側で $h(t_2)>h(-3)$ だが、等しい可能性を排除するには差を傾きで追う。両枝の切片差 $h(t_2(m))-h(t_1(m))$ は $m$ の微分で $t_1-t_2<0$ となり、最小傾きで差0から厳密に負へ変化するため、同一切片にはならない。よって本数は上記の通りである。