II順天堂大学 2020年 数学 第II問解答・解説

(1) $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=2\sqrt2r$。辺 $BC$ を底辺とする高さは面積を2通りに表して $$\displaystyle \frac12 AB\cdot AC=\frac12 BC\cdot t, \quad t=\frac{2\sqrt2}{3}r.$$ $AC$ 周りの回転体は底面半径 $r$、高さ $AC$ の円錐なので $$\displaystyle V=\frac13\pi r^2(2\sqrt2r)=\frac{2\sqrt2}{3}\pi r^3=\frac98\pi t^3.$$ $t$ で微分した側面積は $27\pi t^2/8$。底面積は $\pi r^2=9\pi t^2/8$ だから全表面積は $9\pi t^2/2$。

(2) 直線は $y=(\sqrt3/3)(x+r)$。円の方程式へ代入すると、交点の $x$ 座標は $-r,r/2$ であり、$A$ 以外の交点は $C=(r/2,\sqrt3r/2)$。従って扇形 $BOC$ の中心角は $\pi/3$。回転体を円板で切ると、$0\le x\le r/2$ では半径 $\sqrt3x$、$r/2\le x\le r$ では半径 $\sqrt{r^2-x^2}$ の円板となり $$\displaystyle V=\pi\int_0^{r/2}3x^2dx+\pi\int_{r/2}^r(r^2-x^2)dx=\frac13\pi r^3.$$ 表面は、線分 $OC$ が作る円錐側面と弧 $BC$ が作る球面帯からなる。円錐側面は $\pi(\sqrt3r/2)\cdot r$、球面帯は高さ $r/2$ の球面帯の面積 $2\pi r(r/2)=\pi r^2$。よって $$\displaystyle S=\left(\frac{\sqrt3}{2}+1\right)\pi r^2=\frac{2+\sqrt3}{2}\pi r^2.$$

(3) トーラスの断面を $x$ で切り、$u=\sqrt{r^2-x^2}$ とおくと円環の断面積は $\pi[(R+u)^2-(R-u)^2]=4\pi Ru$。したがって $$\displaystyle V=4\pi R\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx=4\pi R\cdot\frac{\pi r^2}{2}=2\pi^2r^2R.$$ 表面積の計算の根拠を補う。母線の短い線分（長さ $\ell$、両端の回転軸からの距離 $y_1,y_2$）を回転した円錐台の側面積は、円錐の側面積の差から $\pi(y_1+y_2)\ell$ である。滑らかな円弧を細かい弦で近似し、この面積を加えて分割を細かくすると、円弧の回転面積は各部分の周長 $2\pi y$ と弧長の積の和の極限になる。 特に $x=r\cos u,\ y=R+r\sin u$ の円周では、角度幅 $\Delta u$ の弦長は $2r\sin(\Delta u/2)$ であり、$2\sin(\Delta u/2)/\Delta u\to1$ より $$\displaystyle S=\lim\sum\limits _i\pi(y_i+y_{i+1})\,2r\sin(\Delta u_i/2) =2\pi r\int_0^{2\pi}(R+r\sin u)\,du.$$ これは円錐台の面積と定積分の和の極限による計算であり、回転面積公式を前提にしていない。記号 $ds=r\,du$ は、この円周で弧長が半径 $r$ と角度の積であることを表す。 同じ方法を (2) の円弧 $x=r\cos u,\ y=r\sin u\ (0\le u\le\pi/3)$ に適用すると、その回転面積は $\displaystyle 2\pi r^2\int_0^{\pi/3}\sin u\,du=\pi r^2$ となり、本文の球面帯の面積も得られる。

表面を円周 $x=r\cos u, y=R+r\sin u$ の回転で表す。回転面積公式 $\displaystyle S=2\pi\int y\,ds$ と $ds=r\,du$ より $$\displaystyle S=2\pi r\int_0^{2\pi}(R+r\sin u)\,du=4\pi^2rR.$$