5神戸大学 2014年 数学 第5問解答・解説

$\beta=\tan^{-1}(b/a)$、$c=\sqrt{a^2+b^2}$ とおく。元の三角形を極座標で表すと、偏角 $\psi$ は $0\le\psi\le\beta$ で、各偏角での外側境界は $r=a\sec\psi$ である。これを角度 $0$ から $\displaystyle \frac\pi2$ まで回転してできる領域 $D$ は $$\displaystyle \begin{cases} 0\le r\le a\sec\theta,&0\le\theta\le\beta,\\ 0\le r\le c,&\beta\le\theta\le\beta+\frac\pi2 \end{cases}$$ で表される。従って境界は、線分 $OA$、線分 $AB$、中心 $O$・半径 $c$ の円弧 $B$ から $B'=(-b,a)$ まで、および線分 $OB'$ である。

(2) $D$ を $x$ 軸のまわりに回転する。$c^2=a^2+b^2$ とすると、$0\le x\le a$ では断面は半径 $\sqrt{c^2-x^2}$ の円、$-b\le x\le0$ では外半径 $\sqrt{c^2-x^2}$、内半径 $\displaystyle -\frac abx$ の円環である。従って $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^a(c^2-x^2)\,dx +\pi\int_{-b}^0\left(c^2-x^2-\frac{a^2x^2}{b^2}\right)dx\\ &=\pi\left\{c^2(a+b)-\frac{a^3+b^3+a^2b}{3}\right\}\\ &=\frac\pi3\left(2a^3+2a^2b+3ab^2+2b^3\right). \end{aligned}$$

(3) $b=1-a$ として $0<a<1$ だから $$\displaystyle V=\frac\pi3\left(a^3+2a^2-3a+2\right),\qquad V'=\frac\pi3(3a^2+4a-3).$$ 方程式 $3a^2+4a-3=0$ の根は $\displaystyle \frac{-2\pm\sqrt{13}}3$ であり、このうち $(0,1)$ にあるのは $\displaystyle a=\frac{\sqrt{13}-2}{3}$ だけである。導関数はこの値より小さい範囲で負、大きい範囲で正なので、ここで最小となる。代入すると $$\displaystyle V_{\min}=\frac{2\pi}{81}\left(62-13\sqrt{13}\right).$$