3神戸大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) 正方形は平行四辺形であるから、対角線 $AC,BD$ は互いの中点で交わる。位置ベクトルを用いると $$\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}2 =\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}}2.$$ これを整理して $$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$

(2) 正方形の中心を $M$、点 $O$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。$OA=OB=OC$ と三平方の定理より $$HA^2=OA^2-OH^2, \quad HB^2=OB^2-OH^2, \quad HC^2=OC^2-OH^2,$$ したがって $HA=HB=HC$。ゆえに $H$ は三角形 $ABC$ の外心である。三角形 $ABC$ は正方形の連続する3頂点からなるので、その外心は正方形の中心 $M$。従って $H=M$、よって $OM\perp\alpha$。

$M$ は対角線 $AC$ の中点なので $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}.$$ (1)を用いると $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} =2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC} =4\overrightarrow{OM}.$$ これは $\overrightarrow{OM}$ の定数倍であり、$OM\perp\alpha$ だから、求めるベクトルは平面 $\alpha$ に垂直である。