3筑波大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) 線分の内分点の位置ベクトルは $$\overrightarrow{OP}=t\vec a,\qquad \overrightarrow{OQ}=(1-t)\vec b+t\vec c$$ である。MはPQの中点なので $$\displaystyle \overrightarrow{OM} =\frac{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}}2 =\frac12\{t\vec a+(1-t)\vec b+t\vec c\}.$$

(2) $\vec m=\overrightarrow{OM}$ とおく。条件 $OM=BM$ を平方すると $$\vec m\cdot\vec m=(\vec m-\vec b)\cdot(\vec m-\vec b) =\vec m\cdot\vec m-2\vec m\cdot\vec b+|\vec b|^2,$$ よって $|\vec b|^2=2\vec m\cdot\vec b$ である。一方， $$2\vec m\cdot\vec b =t(\vec a\cdot\vec b)+(1-t)|\vec b|^2+t(\vec c\cdot\vec b) =2t+(1-t)|\vec b|^2.$$ したがって $t|\vec b|^2=2t$。$t>0$ より $|\vec b|^2=2$、ゆえに $$OB=|\vec b|=\sqrt2.$$

(3) $\vec m=\overrightarrow{OM}$、$x=|\vec a|^2$、$z=|\vec c|^2$ とおく。A,CはMを中心とする同一球面上にあるから $$|\vec a-\vec m|^2=|\vec c-\vec m|^2.$$ また、与えられた内積条件より $$\displaystyle (\vec a-\vec c)\cdot\vec m =\frac12\{t(x-1)+(1-t)(1-1)+t(1-z)\} =\frac t2(x-z).$$ よって $$0=|\vec a-\vec m|^2-|\vec c-\vec m|^2 =x-z-2(\vec a-\vec c)\cdot\vec m =(1-t)(x-z).$$ $t<1$ だから $x=z$、すなわち $OA=OC$ である。さらに $$AB^2=|\vec a-\vec b|^2=x+|\vec b|^2-2(\vec a\cdot\vec b) =x+|\vec b|^2-2,$$ $$CB^2=|\vec c-\vec b|^2=z+|\vec b|^2-2(\vec c\cdot\vec b) =z+|\vec b|^2-2$$ なので $AB=CB$。また $OB$ は共通である。したがって三辺 $OA,AB,OB$ と $OC,CB,OB$ がそれぞれ等しく、三辺相等により $$\triangle OAB\cong\triangle OCB.$$