1筑波大学 2016年 数学 第1問解答・解説

共有点の $x$ 座標を $u,v$ とすると、$x^2=-x^2+2kx+1-k^2$ より $$2x^2-2kx+k^2-1=0.$$ この二次方程式の解は $u,v$ であるから $$\displaystyle u+v=k,\qquad uv=\frac{k^2-1}{2},\qquad (u-v)^2=(u+v)^2-4uv=2-k^2.$$ 以後、2つの共有点の $x$ 座標を小さい順に $u,v$ とし、$u<v$ とする。

(1) 異なる2点をもつ条件は判別式が正、すなわち $2-k^2>0$。また $u,v>0$ であるためには積が正かつ和が正であることが必要十分であり、$uv>0$ は $k^2>1$ と同値であり、$u+v>0$ は $k>0$ と同値である。したがって $$1<k<\sqrt2.$$

(2) $P=(u,u^2), Q=(v,v^2)$ だから、重心は $$\displaystyle G=\left(\frac{u+v}{3},\frac{u^2+v^2}{3}\right).$$ ここで $u^2+v^2=(u+v)^2-2uv=1$ より $$\displaystyle G=\left(\frac{k}{3},\frac13\right).$$ (1)の範囲を動くと、軌跡は直線 $y=1/3$ 上の $$\displaystyle \frac13<x<\frac{\sqrt2}{3}$$ の部分である。端点は含まない。

(3) $PQ$ の傾きは $(v^2-u^2)/(v-u)=u+v=k$ なので、直線 $PQ$ は $y=kx-uv$。その長さと原点からの距離は $$\displaystyle |PQ|=(v-u)\sqrt{1+k^2},\qquad d(O,PQ)=\frac{uv}{\sqrt{1+k^2}}.$$ よって $$\displaystyle S=\frac12|PQ|d(O,PQ)=\frac12uv(v-u) =\frac{k^2-1}{4}\sqrt{2-k^2}.$$ したがって $$\displaystyle S^2=\frac{(k^2-1)^2(2-k^2)}{16}.$$

(4) $t=k^2$ とおくと $1<t<2$ であり、$S^2=(t-1)^2(2-t)/16$。分子の導関数は $$\displaystyle \frac{d}{dt}\{(t-1)^2(2-t)\}=(t-1)(5-3t).$$ したがって $S^2$ は $t=5/3$ で最大となり、$k>0$ より $$\displaystyle k=\sqrt{\frac53}=\frac{\sqrt{15}}3.$$ このとき $G=(k/3,1/3)=(\sqrt{15}/9,1/3)$。なお $\displaystyle S_{\max}^2=1/108$ なので $\displaystyle S_{\max}=1/(6\sqrt3)$。