東京医科歯科大学 2009年数学第3問解答・解説

三角関数微分法積分法二次関数いろいろな式

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1問題

東京医科歯科大学2009年度第3問

関数 f(x)=sin 2x+a cos x について，以下の各問いに答えよ。

(1) f(x)が区間 −π/2<x<π/2 の相異なる2点で極値を持つような，aの値の範囲を求めよ。

(2) aが(1)で求めた範囲にあるとき，∫_{−π/2}^{π/2}|f(x)|dxをaを用いて表せ。

(3) aが(1)で求めた範囲にあるとき，f(x)が極値をとるxの値をx=α,β（ただし −π/2<α<β<π/2）とする。∫_{α}^{β}|f(x)|dxをaを用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$−2<a<2$
(2)
$\displaystyle 2+\frac{a^2}{2}$
(3)
$\displaystyle 1+\frac{5a^2}{16}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(x)=\cos x(a+2\sin x)$ と変形し、 $t=\sin x$ を使う。f′の符号を二次式 $2-4t^2-at$ で調べ、両端t=−1,1で負、中央t=0で正となる条件を求める。積分では $dt=\cos x\,dx$ として絶対値付き一次式を区間分けする。極値間の積分では零点 $\displaystyle t=-\frac a2$ が二つの停留点の間にあることを確かめ、根と係数の関係で端点をまとめる。

この問題で使う考え方

三角関数の合成・因数分解
導関数の符号と二次式の根
sin xを変数とする置換積分
絶対値の区間分割
根と係数の関係

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