1東邦大学 2009年 数学 第1問解答・解説

第1問

・ 元の方程式は $x^2+3x-1=0$ だから、解について $$\alpha+\beta=-3,\qquad \alpha\beta=-1,\qquad \alpha^2=-3\alpha+1,\quad \beta^2=-3\beta+1$$ である。従って $$\alpha(3+3\beta+\beta^2)=4\alpha,\qquad \beta(3+3\alpha+\alpha^2)=4\beta.$$ この二数の和は $4(\alpha+\beta)=-12$、積は $16\alpha\beta=-16$ である。よって二数を解とする方程式は $$x^2+12x-16=0,\qquad\text{すなわち }x^2=-12x+16.$$

・ 5人それぞれが2台のうちどちらに乗るかを選ぶと $2^5=32$ 通り。車は区別される。定員を超えるのは、5人全員が同じ車を選ぶ2通りだけなので、$32-2=30$ 通り。

・ 円の中心は $60^\circ$ の角の二等分線上にあり、半径を $r$、頂点Aから中心までの距離を $d$ とすると、直角三角形から $r=d\sin30^\circ$、従って $d=2r$ である。図では円 $O'$ が円 $O$ より大きく、Aから遠い。円 $O$ の半径は5、円 $O'$ の半径を $R$ とすると、中心間距離は $2R-10$。外接条件から $$2R-10=R+5,$$ ゆえに $R=15$。

・ $0^\circ<\theta<90^\circ$ より半角の正接は $$\displaystyle \tan\frac\theta2=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} =\frac{5/13}{1+12/13}=\frac15.$$ $u=\tan(\theta/2)$ とおけば、分子分母を $\cos(\theta/2)$ で割ることができ、求める値は $$\displaystyle \frac{u-1}{u+1}=\frac{1/5-1}{1/5+1}=-\frac23.$$

・ 左辺は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k(n+1-k)=(n+1)\frac{n(n+1)}2-\frac{n(n+1)(2n+1)}6 =\frac{n(n+1)(n+2)}6.$$ 従って $n(n+1)(n+2)=6\cdot5456=32736$。$31\cdot32\cdot33=32736$ なので $n=31$。正の整数 $n$ について三因子はいずれも増加するため、この解は一意。

・ 対数の定義域は $x-1>0$, $x-1\ne1$, $x^2-x-20>0$ である。この範囲で対数方程式は $$x^2-x-20=(x-1)^2$$ と同値であり、整理して $x=21$。このとき底は20、真数は400で、$20>0$, $20\ne1$, $400>0$ かつ $\log_{20}400=2$ を満たす。

・ $u=4-x$ と置換すると、$x=0,3$ はそれぞれ $u=4,1$ となるから $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^3x\sqrt{4-x}\,dx &=\int_1^4(4-u)\sqrt u\,du\\ &=\left[\frac83u^{3/2}-\frac25u^{5/2}\right]_1^4\\ &=\left(\frac{64}{3}-\frac{64}{5}\right)-\left(\frac83-\frac25\right) =\frac{94}{15}. \end{aligned}$$

・ 成分を計算すると $$\vec x=(s-1,-s+2t-2),\qquad \vec y=(2s+1,-2s+t+2),$$ 従って $$\vec x\cdot\vec y=4s^2-5st+2t^2+s+2t-5.$$ $s=-2+u$, $t=-3+v$ とおくと一次の項が消えて $$\displaystyle \vec x\cdot\vec y=-9+4u^2-5uv+2v^2 =-9+4\left(u-\frac58v\right)^2+\frac7{16}v^2\ge -9.$$ 等号は $u=v=0$、すなわち $(s,t)=(-2,-3)$ のときに成り立つ。最小値は $-9$。

・ 直接計算で $$A^2=\begin{pmatrix}7&2\\3&6\end{pmatrix}=A+6E.$$ この関係を順次用いると $$A^3=7A+6E,\quad A^4=13A+42E,\quad A^5=55A+78E,\quad A^6=133A+330E.$$ よって $$A^6-A^5-7A^4+7A^2+9A+2E=3A+2E =\begin{pmatrix}5&6\\9&2\end{pmatrix}.$$

・ 絶対値の切れ目 $x=-1,0$ で区分する。 $$f(x)=\begin{cases} 4e^x-x-1 &(x\le -1),\\ 4e^x+x+1 &(-1\le x\le0),\\ 4e^{-x}+x+1 &(x\ge0). \end{cases}$$ $x\le-1$ では $f'(x)=4e^x-1$ であり、符号は $x=-\log4$ を境に負から正へ変わる（$\log4>1$）。この区間の最小値は $x=-\log4$ で $f=1+\log4-1=\log4$。 $-1\le x\le0$ の範囲では $f'(x)=4e^x+1>0$ なので最小値は左端の $4/e$。ここで $u=\log4-1>0$ とすると $e^u>1+u$ より $4/e=e^{\log4-1}>\log4$。 $x\ge0$ では $f'(x)=1-4e^{-x}$ であり、最小は $x=\log4$ における $2+\log4$。これも $\log4$ より大きい。したがって全実数での最小点は $a=-\log4$ で、 $$\displaystyle e^a=\frac14.$$