2東邦大学 2009年 数学 第2問解答・解説

第2問

$f$ の定義域は $x>0$ である。

・ 与えられた関係に $x=y=1$ を代入すると $$f(1)=f(1)+f(1)+1,$$ 従って $f(1)=-1$。

・ $x>0$ を固定し、$u=h/x$ とおく。$h\to0$ のとき $u\to0$ であり、十分小さい $h$ では $1+u>0$ である。また $f(1)=-1$ なので $$\displaystyle \frac{x f\left(1+\frac hx\right)+x}{h} =\frac{f(1+u)-f(1)}{u} \longrightarrow f'(1)=0.$$ よって極限値は $0$。

・ $x>0$ を固定し、$h$ が十分小さいとき $y=1+h/x>0$ として関係式に代入する。 $$\displaystyle f(x+h)=x f\left(1+\frac hx\right)+\left(1+\frac hx\right)f(x)+(x+h).$$ ここで $f(1)=-1$ を用いて $f(x)$ を引き、$h$ で割ると $$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}h =\frac{x\left(f\left(1+\frac hx\right)-f(1)\right)}h+\frac{f(x)}x+1 =\frac{f\left(1+\frac hx\right)-f(1)}{h/x}+\frac{f(x)}x+1.$$ $h\to0$ とすると第一項は $f'(1)=0$ に収束する。従って導関数の定義から $$\displaystyle f'(x)=\frac{f(x)}x+1\qquad(x>0).$$

・ 商の微分より $$\displaystyle g'(x)=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2} =\frac{x\left(\frac{f(x)}x+1\right)-f(x)}{x^2} =\frac1x.$$

・ $g'(x)=1/x$ だから、$x>0$ 上で $g(x)=\log x+C$。また $g(1)=f(1)=-1$ より $C=-1$。よって $$f(x)=xg(x)=x(\log x-1)\qquad(x>0).$$ 実際、この式なら $$xf(y)+yf(x)+xy =xy(\log y-1)+xy(\log x-1)+xy =xy(\log(xy)-1)=f(xy),$$ かつ $f'(x)=\log x$ なので $f'(1)=0$。条件を満たすことも確認できた。