3東海大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1) 商の微分法より $$\displaystyle \left(\frac{\cos x}{x}\right)' =\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2} =-\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}.$$ $0<x<\pi/2$ では分子 $x\sin x+\cos x$ が正なので、この導関数は負である。よって $y=\cos x/x$ はこの区間で単調に減少する。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}\frac{\cos x}{x}=+\infty,\qquad \lim\limits _{x\to\frac{\pi}{2}-}\frac{\cos x}{x}=0.$$ したがって値域は $y>0$ である。

(2)(i) 方程式は $t>0$ より $$\displaystyle \frac{\cos t}{t}=\frac{\cos x}{x}$$ と同値である。(1)で示したように関数 $u\mapsto \cos u/u$ は $0<u<\pi/2$ でuが大きくなると値が必ず小さくなるため、異なるuに対して同じ値をとらない。したがって、両辺が等しいためには $t=x$ である。実際、$t=x$ を元の方程式に代入すると等式が成り立つ。

(2)(ii) $r=\cos x/x$ とおく。$g(t)=\cos t-rt$ は $$g'(t)=-\sin t-r<0$$ であり、$g(0)=1>0$、$g(\pi/2)=-r\pi/2<0$ である。したがって $g$ は $t=x$ で符号を正から負へ変える。よって $$\displaystyle \begin{aligned} f(x) &=\int_0^x(\cos t-rt)\,dt+\int_x^{\pi/2}(rt-\cos t)\,dt\\ &=\sin x-\frac{x\cos x}{2} +\frac{\pi^2\cos x}{8x}-\frac{x\cos x}{2}-1+\sin x\\ &=2\sin x-x\cos x-1+\frac{\pi^2\cos x}{8x}. \end{aligned}$$ これを微分すると $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x) &=\cos x+x\sin x-\frac{\pi^2}{8}\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}\\ &=(\cos x+x\sin x)\left(1-\frac{\pi^2}{8x^2}\right). \end{aligned}$$

(2)(iii) $0<x<\pi/2$ では $\cos x+x\sin x>0$ である。したがって $f'(x)$ の符号は $1-\pi^2/(8x^2)$ の符号で決まり、 $$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2\sqrt2}\ \quad\text{ならば}\quad\ f'(x)<0,\qquad \frac{\pi}{2\sqrt2}<x<\frac{\pi}{2}\ \quad\text{ならば}\quad\ f'(x)>0.$$ 臨界点 $\pi/(2\sqrt2)$ は定義域内にあるので、$f$ はそこで減少から増加に変わり、最小値をとる。