2東京大学 2013年 数学 第2問解答・解説

交点を水平線との交点に直す 共有点の $x$ 座標は $$\displaystyle \frac{\cos x}{x}=\sin x+ax$$ を満たすので、両辺を整理すると $a=h(x)$、ただし $$\displaystyle h(x)=\frac{\cos x}{x^2}-\frac{\sin x}{x}\quad(x>0)$$ となります。したがって、曲線 $y=h(x)$ と水平線 $y=a$ の交点数を数えればよいです。

山と谷の高さ 微分すると $$\displaystyle h'(x)=-\frac{x^2+2}{x^3}\cos x$$ です。係数 $(x^2+2)/x^3$ は正だから、$\cos x>0$ の区間で減少、$\cos x<0$ の区間で増加します。また $x\to0+$ では $h(x)\to+\infty$ です。

極小点は $x=(4j+1)\pi/2$、極大点は $x=(4j+3)\pi/2$（$j=0,1,2,\ldots$）にあり、その値は $$\displaystyle m_j=-\frac{2}{(4j+1)\pi},\qquad M_j=\frac{2}{(4j+3)\pi}.$$ したがって $m_0<m_1<0<M_1<M_0$。谷は次第に高くなって0に近づき、山は次第に低くなって0に近づきます。

負の $a$ $a=m_1=-2/(5\pi)$ では、最初の谷の左右で2回交わり、さらに $x=5\pi/2$ の谷の頂点で1回交わるので、計3個です。それより少し低い $m_0<a<m_1$ なら2個、$a<m_0$ なら0個、$a=m_0$ なら1個です。$m_1<a<0$ では次の山まで水平線が届くため、少なくとも4個になります。$a=0$ はすべての負の谷と正の山の間で交わるので無限個です。

正の $a$ 最初の下降部分で1回交わります。正の山 $M_j$ が水平線より高ければ、その山の左右で2回ずつ交わり、同じ高さなら頂点で1回交わります。交点がちょうど3個となるのは、最初の山 $M_0=2/(3\pi)$ より低く、次の山 $M_1=2/(7\pi)$ より高いときだけです。境界では $a=M_0$ は2個、$a=M_1$ は4個です。

以上より $$\displaystyle a=-\frac{2}{5\pi}\quad\text{または}\quad \frac{2}{7\pi}<a<\frac{2}{3\pi}.$$