5東京大学 2013年 数学 第5問解答・解説

$M=(x+y-1)(x+y)(x+y+1)=(x+y)^3-(x+y)$ とおく。$y$ は自然数なので $$M-(x^3+3yx^2)=(3y^2-1)x+y^3-y>0.$$ 一方 $$x^3+(3y+1)x^2-M=q_y(x)=x^2-(3y^2-1)x-y(y^2-1).$$ この上に開く二次式は一つの根が0以下、正の根が $$\displaystyle \alpha=\frac{3y^2-1+\sqrt{(3y^2-1)^2+4y(y^2-1)}}{2}$$ である。$x>0$ で $q_y(x)>0$ となるのは $x>\alpha$ に限る。したがって不等式が成り立つ正の $x$ の範囲は上記である。

（2）$R=1+10+\cdots+10^{98}$（99個の1）とおく。各位の和が99なので3で割り切れ、$y=R/3$ は自然数。$R<10^{99}$ より $y<10^{98}$。$x=10^{300}$ とすると $3y^2<x$、$y^3<x$ であり、 $$q_y(x)=x(x-3y^2)+x+y-y^3>0.$$ よって（1）の上側不等式も成立する。ここで $A=(x+y-1)(x+y)(x+y+1)$ と置けば連続する3自然数の積で、 $$(10^{300}+R)10^{600}<A<(10^{300}+R+1)10^{600}.$$ 従ってある整数 $s$ が $0<s<10^{600}$ を満たして $A=(10^{300}+R)10^{600}+s$ と書ける。$10^{300}+R$ の末尾99桁は1が連続し、$s<10^{600}$ なので繰上りは起こらない。その99個の1は $A$ の十進表示に残り、命題Pが成立する。