4東京大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) $\mathbf u=\overrightarrow{PA}/|\overrightarrow{PA}|$, $\mathbf v=\overrightarrow{PB}/|\overrightarrow{PB}|$, $\mathbf w=\overrightarrow{PC}/|\overrightarrow{PC}|$ とおくと、いずれも長さ1で $\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w=\mathbf0$。よって $1=|\mathbf u+\mathbf v|^2=2+2\mathbf u\cdot\mathbf v$ から $\mathbf u\cdot\mathbf v=-1/2$。同様に $\mathbf u\cdot\mathbf w=\mathbf v\cdot\mathbf w=-1/2$ である。したがって3方向のなす角はいずれも $120^\circ$、特に $\angle APB=\angle APC=120^\circ$。 (2) $p=|\overrightarrow{PA}|$、$q=|\overrightarrow{PB}|$、$r=|\overrightarrow{PC}|$ とおく。$\angle BAC=90^\circ$ より $|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2=4$。余弦定理を三角形 $PAB,PAC,PBC$ に用いると $$p^2+q^2+pq=1,\qquad p^2+r^2+pr=3,\qquad q^2+r^2+qr=4.$$ $S=p+q+r$ とおく。第3式から第1式を引くと $(r-p)S=3$、第2式から第1式を引くと $(r-q)S=2$。したがって $q-p=1/S$、$r-p=3/S$。これらと $S=p+q+r$ から $$\displaystyle p=\frac{S-4/S}{3},\qquad q=\frac{S-1/S}{3},\qquad r=\frac{S+5/S}{3}.$$ $p>0$ なので $u=S^2>4$。第1式に $p,q$ を代入すると $$\displaystyle 1=p^2+q^2+pq=\frac{u^2-5u+7}{3u},\qquad (u-1)(u-7)=0.$$ よって $u=7$。したがって $p=1/\sqrt7$、$q=2/\sqrt7$、$r=4/\sqrt7$。