1東京大学 2013年 数学 第1問解答・解説

複素数 $z_n=x_n+iy_n$、$w=a+bi$ とおくと、漸化式から $z_{n+1}=wz_n$ であり、$z_0=1$ だから $z_n=w^n$ である。(i) は $w^6=1$ を意味する。よって $|w|^6=1$、$|w|=1$ であるから、ある実数 $\theta$ を用いて $w=\cos\theta+i\sin\theta$ と表せる。ド・モアブルの定理より $w^6=1$ は $6\theta=2k\pi$（$k=0,1,2,3,4,5$）となるので、$\displaystyle \theta=\frac{k\pi}{3}$ である。

$k=0,2,4$ のときは $w^3=\cos(k\pi)+i\sin(k\pi)=1$ となり、$P_0=P_3$ だから (ii) を満たさない。$k=3$ のときは $w^2=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1$ となり、$P_0=P_2$ だから (ii) を満たさない。一方、$k=1$ なら $P_0,\ldots,P_5$ の偏角は $\displaystyle 0,\frac{\pi}{3},\ldots,\frac{5\pi}{3}$、$k=5$ ならその逆順の6つの偏角となるので、どちらも相異なる。したがって $k=1,5$ のみが適する。

ゆえに $\displaystyle w=\cos\frac{\pi}{3}\pm i\sin\frac{\pi}{3}=\frac12\pm i\frac{\sqrt3}{2}$ であり、$\displaystyle (a,b)=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)$ を得る。