3佐賀大学 2017年 数学 第3問解答・解説

以下，$\displaystyle z=\dfrac{\beta}{\alpha}$ とおく。$\alpha\neq 0$ なので，この置き換えは常に可能である。

(1)

条件 $|\alpha|=1,\ |\beta|=\sqrt{2}$ より $$\displaystyle |z|=\left|\frac{\beta}{\alpha}\right|=\frac{|\beta|}{|\alpha|}=\sqrt{2}.$$ また $|\alpha|=1$ であるから $$\displaystyle |\alpha-\beta|=|\alpha|\left|1-\frac{\beta}{\alpha}\right|=|1-z|$$ となり，$|\alpha-\beta|=1$ より $$|1-z|=1.$$ $z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおくと，$|z|=\sqrt{2}$ より $$x^{2}+y^{2}=2 \tag{i}$$ $|1-z|=1$ より $$(1-x)^{2}+y^{2}=1 \tag{ii}$$ (i)$-$(ii) を計算すると $$x^{2}-(1-x)^{2}=1,\qquad x^{2}-(1-2x+x^{2})=1,\qquad 2x-1=1,\qquad x=1.$$ これを(i)に代入すると $1+y^{2}=2$ より $y^{2}=1$，すなわち $y=\pm1$ である。$\displaystyle \dfrac{\beta}{\alpha}$ の虚部は正であるという条件から $y=1$ を採る。したがって $$\displaystyle z=\frac{\beta}{\alpha}=1+i.$$ （検算：$|1+i|=\sqrt{2}$，$|1-(1+i)|=|-i|=1$ で条件を満たす。）

$z=1+i$ を極形式で表すと $$\displaystyle z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$ であるから，ド・モアブルの定理により $$z^{8}=(\sqrt{2})^{8}\left(\cos2\pi+i\sin2\pi\right)=16\cdot 1=16.$$ したがって $$\displaystyle \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{8}=16.$$

(2)

$\beta=z\alpha$ であるから $$\alpha+\beta=\alpha(1+z)=\alpha\{1+(1+i)\}=\alpha(2+i).$$ $|\alpha|=1$ より $$|\alpha+\beta|=|\alpha|\,|2+i|=1\cdot\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.$$

(3)

$n$ を8で割ると1余る整数とすると，ある整数 $k$ を用いて $$n=8k+1$$ と表せる。$\beta=z\alpha$ より $\beta^{n}=z^{n}\alpha^{n}$ であるから $$\alpha^{n}+\beta^{n}=\alpha^{n}(1+z^{n}).$$ $|\alpha|=1$ より $|\alpha^{n}|=|\alpha|^{n}=1$ であるから $$|\alpha^{n}+\beta^{n}|=|1+z^{n}|. \tag{iii}$$ ここで，(1)で得た $z^{8}=16$ を用いると，指数法則より $$z^{n}=z^{8k+1}=(z^{8})^{k}\cdot z=16^{k}(1+i).$$ そこで $t=16^{k}$（$t>0$ の実数）とおくと $$1+z^{n}=1+16^{k}(1+i)=(1+t)+ti$$ であるから，(iii)より $$|\alpha^{n}+\beta^{n}|=\sqrt{(1+t)^{2}+t^{2}}=\sqrt{1+2t+2t^{2}}.$$ 最後に $t=16^{k}$ を $n$ の式に書き直す。$n=8k+1$ より $\displaystyle k=\dfrac{n-1}{8}$ であるから $$\displaystyle t=16^{k}=16^{\frac{n-1}{8}}=\left(2^{4}\right)^{\frac{n-1}{8}}=2^{\frac{n-1}{2}}.$$ これより $$\displaystyle 2t^{2}=2\cdot\left(2^{\frac{n-1}{2}}\right)^{2}=2\cdot2^{n-1}=2^{n},\qquad 2t=2\cdot2^{\frac{n-1}{2}}=2^{\frac{n+1}{2}}$$ であるから $$\displaystyle |\alpha^{n}+\beta^{n}|=\sqrt{2^{n}+2^{\frac{n+1}{2}}+1}.$$ $n=8k+1$（$k$ は整数）は奇数であるから，指数 $\displaystyle \dfrac{n+1}{2}$ は常に整数となり，この表示は意味を持つ。

（検算）$n=1$（$k=0$）のとき，右辺は $\sqrt{2^{1}+2^{1}+1}=\sqrt{5}$ となり，これは $n=1$ のとき $\alpha^{1}+\beta^{1}=\alpha+\beta$ であることから(2)の結果 $\sqrt5$ と一致する。また $n=9$（$k=1$）のとき，直接 $z^{9}=z^{8}z=16(1+i)=16+16i$ より $1+z^{9}=17+16i$，$|1+z^{9}|=\sqrt{17^{2}+16^{2}}=\sqrt{289+256}=\sqrt{545}$ であり，公式の右辺も $\sqrt{2^{9}+2^{5}+1}=\sqrt{512+32+1}=\sqrt{545}$ となって一致し，導出の正しさが確認できる。