8自治医科大学 2020年 数学 第8問解答・解説

まず絶対値条件を使う。$a$ は実数なので、 $$\displaystyle |Z|=\frac{|1+i|^{3}}{\sqrt2}\left(\frac{|a-i|}{|a-3i|}\right)^{2} =2\frac{a^{2}+1}{a^{2}+9}.$$ これが $\displaystyle \frac23$ であるから、 $$\displaystyle \frac{a^{2}+1}{a^{2}+9}=\frac13 \quad\text{ならば}\quad 3a^{2}+3=a^{2}+9 \quad\text{ならば}\quad a^{2}=3.$$ したがって $a=\sqrt3$ または $a=-\sqrt3$ である。 $$\displaystyle \frac{(1+i)^{3}}{\sqrt2} =2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right).$$ また、 $$\displaystyle \frac{\sqrt3-i}{\sqrt3-3i} =\frac{(\sqrt3-i)(\sqrt3+3i)}{12} =\frac12+\frac{\sqrt3}{6}i$$ は絶対値が $\displaystyle \frac1{\sqrt3}$、偏角が $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ である。一方、 $$\displaystyle \frac{-\sqrt3-i}{-\sqrt3-3i} =\frac{(-\sqrt3-i)(-\sqrt3+3i)}{12} =\frac12-\frac{\sqrt3}{6}i$$ は絶対値が $\displaystyle \frac1{\sqrt3}$、偏角が $\displaystyle -\frac{\pi}{6}$ である。よって $a=\sqrt3$ のとき $Z$ の偏角は $\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{13\pi}{12}$、$a=-\sqrt3$ のときは $\displaystyle \frac{3\pi}{4}-2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{12}$ である。 $Z\ne0$ なので、$Z^{n}$ が実数となる条件は偏角 $n\theta$ が $\pi$ の整数倍になることである。どちらの場合も、$\displaystyle \frac{13n}{12}$ または $\displaystyle \frac{5n}{12}$ が整数となる必要があり、$\gcd(13,12)=\gcd(5,12)=1$ より $n$ は12の倍数である。最小の自然数は $m=12$ だから、 $$\displaystyle \frac{m}{2}=6.$$