6自治医科大学 2020年 数学 第6問解答・解説

直線 $\ell$ と辺 $CA$、$CB$ との交点をそれぞれ $P,Q$ とする。辺 $CA$ の方程式は $x+y=1$、辺 $CB$ の方程式は $2x+3y=3$ であるから、$y=mx$ を連立して $$\displaystyle P=\left(\frac{1}{m+1},\frac{m}{m+1}\right),\qquad Q=\left(\frac{3}{3m+2},\frac{3m}{3m+2}\right)$$ を得る。$m>0$ より $P,Q$ はそれぞれ辺 $CA,CB$ の内部にある。さらに辺上の比を読むと、 $$\displaystyle \frac{CP}{CA}=\frac{1}{m+1},\qquad \frac{CQ}{CB}=\frac{2}{3m+2}$$ である。三角形 $CPQ$ と $CAB$ は頂点 $C$ の角を共有するので、面積比はこの二つの辺の比の積となる。直線 $\ell$ が三角形を二等分する条件は $\displaystyle [CPQ]/[CAB]=\frac12$ であるから、 $$\displaystyle \frac{2}{(m+1)(3m+2)}=\frac12$$ すなわち $$(m+1)(3m+2)=4,\qquad 3m^2+5m-2=(3m-1)(m+2)=0$$ である。$m>0$ より $\displaystyle m=\frac13$ であり、 $$9m=3$$ となる。