13自治医科大学 2020年 数学 第13問解答・解説

関数を $y(x)$ とおく。$x$ 軸に接するには、$0\le x\le2\pi$ の範囲のある $x$ で $y(x)=0$ かつ $y'(x)=0$ となる必要がある。微分すると $$y'(x)=5\cos x\,(\sqrt2-2\sin x).$$ したがって $y'(x)=0$ となるのは $\cos x=0$ または $\sin x=\sqrt2/2$ の場合である。前者では $x=\pi/2,3\pi/2$ であり、 $$y(\pi/2)=\sqrt2(k+5)>0,\qquad y(3\pi/2)=\sqrt2(k-5).$$ よって $y(3\pi/2)=0$ となるのは $k=5$ である。後者では $\cos^2x=1/2$ だから $$\displaystyle y(x)=\frac52+5+\sqrt2 k>0$$ となり、$x$ 軸との接点にはならない。$k=5$ のとき $x=3\pi/2$ で $y=0$ かつ $y'=0$ なので、条件を満たす。