自治医科大学 2020年数学第16問解答・解説

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1問題

自治医科大学2020年度第16問

各設問について，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つ選べ。

16. 曲線 $\displaystyle C:\sqrt{\frac{x}{6}}+\sqrt{\frac{y}{4}}=1$ $(x,y\text{ は実数},\ x\geq 0,\ y\geq 0)$ について考える。曲線 $C$ と $x$ 軸と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ とする。 $S$ の値を求めよ。

選択肢： $\begin{array}{lllll} ア 0 & カ 1 & サ 2 & タ 3 & ナ 4 \\ ハ 5 & マ 6 & ヤ 7 & ラ 8 & ワ 9 \end{array}$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

曲線を $y$ の関数に直し、平方根を変数置換して第一象限の面積を定積分する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\boxed{4}\quad$ （選択肢ナ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

条件から $\displaystyle y=4\left(1-\sqrt{\frac{x}{6}}\right)^{2},\qquad 0\le x\le6$ であり、求める面積はこの曲線と $x$ 軸の間の面積である。 $u=\sqrt{x/6}$ と置くと $x=6u^{2}$ 、 $dx=12u\,du$ 、 $0\le u\le1$ となる。よって $\displaystyle S=\int_{0}^{6}4\left(1-\sqrt{\frac{x}{6}}\right)^2dx =48\int_{0}^{1}u(1-u)^2du =48\left(\frac12-\frac23+\frac14\right)=4.$

この問題で使う考え方

置換積分法
曲線で囲まれた面積

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