5自治医科大学 2020年 数学 第5問解答・解説

$C=(c,0)$ とおく。$C$ は線分 $OA$ の垂直二等分線上にあるので、$CO=CA$ である。距離の二乗を等しくすると、 $$c^2=(c-t)^2+1$$ より $$\displaystyle c=\frac{t^2+1}{2t}$$ を得る。ここで $t>0$ だから $c>0$ である。また、$B$ は $O$ と $A$ の中点なので $\displaystyle B=(\frac{t}{2},\frac12)$ である。底辺を $OC$、高さを $B$ から $x$ 軸までの距離とすると、 $$\displaystyle [OBC]=\frac12\cdot c\cdot\frac12=\frac{t^2+1}{8t}$$ となる。面積が $1$ である条件から、 $$\displaystyle \frac{t^2+1}{8t}=1,\qquad t^2-8t+1=0$$ である。したがって $$t=4\pm\sqrt{15}$$ となる。$0<\sqrt{15}<4$ よりこの二つの解は異なる正の実数であり、これらが $\alpha,\beta$ である。よって $$\alpha+\beta=(4-\sqrt{15})+(4+\sqrt{15})=8$$ である。