2奈良県立医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

点 $A$ を原点、点 $B$ を $(r,0)$ とする。円 $C_A$ に接する直線は、係数を単位化して符号を選ぶと $$ux+vy=R,\qquad u^2+v^2=1$$ と表せる。この直線に対する点 $A$ の符号付き距離は $-R$、点 $B$ の符号付き距離は $ur-R$ である。

$A,B$ が直線の同じ側にある場合、点 $B$ から直線までの距離が $r$ であるため $$\displaystyle ur-R=-r,\qquad u=\frac{R-r}{r}.$$ 一方、両中心が直線の反対側にあるなら $ur-R=r$ となり、$u=(R+r)/r>1$ である。しかし $u^2+v^2=1$ に反するから、そのような共通接線はない。したがって共通接線は上の同じ側の場合に限られる。$u=(R-r)/r>0$ を固定すると、$v^2=1-u^2$ であり、$v$ が異なる二つの値をとるのは $0<u<1$ のときに限る。よって共通接線がちょうど二つ存在するための必要十分条件は $$\displaystyle \frac{R-r}{r}<1.$$ $r>0$ なので、両辺に $r$ を掛けて整理すると、これと同値な条件は $$R<2r.$$

$(2)$ では $u=(R-r)/r$、$v=\pm\sqrt{1-u^2}$ なので、二つの接線の交点は $$\displaystyle P=\left(\frac{R}{u},0\right) =\left(\frac{Rr}{R-r},0\right).$$ したがって $$\displaystyle PA=\frac{Rr}{R-r}.$$

$(3)$ で接線 $l$ の接点は $Q=(Ru,Rv)$ であるから $AQ=R$ である。条件 $BQ=AQ$ を二乗して用いると $$R^2=BQ^2=(Ru-r)^2+(Rv)^2 =R^2(u^2+v^2)-2Rru+r^2 =R^2-2Rru+r^2.$$ よって $r^2-2Rru=0$、すなわち $u=r/(2R)$ である。これと $u=(R-r)/r$ を合わせると $$2R(R-r)=r^2.$$ $t=r/R$ とおけば $t^2+2t-2=0$ であり、$t>0$ より $t=\sqrt{3}-1$。この値は $1/2<t<1$ を満たし、$(1)$ の条件とも整合する。したがって $$r=(\sqrt{3}-1)R.$$