1奈良県立医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ。

(1) $n$ を2以上の整数とする。この問題において $n$ 進数とは，0以上 $n$ 未満の整数 $a_{d-1},a_{d-2},\ldots,a_0$（ただし $a_{d-1}\neq 0$）を並べた列 $a_{d-1}a_{d-2}\cdots a_0$ のこととする。これは整数 $$a_{d-1}n^{d-1}+a_{d-2}n^{d-2}+\cdots+a_0n^0$$ と対応しており，任意の正整数と対応する $n$ 進数がただ一つ存在することが知られている。例えば $$4\times 5^3+0\times 5^2+3\times 5^1+1\times 5^0=516$$ なので，5進数の4031は整数516に対応する。6進数の123は整数の $\boxed{\text{ア}}$ に対応し，整数2020は7進数の $\boxed{\text{イ}}$ に対応する。

(2) $n$ を2以上の整数とする。

この問題において $(-n)$ 進数とは0以上 $n$ 未満の整数 $a_{d-1},a_{d-2},\ldots,a_0$（ただし $a_{d-1}\neq 0$）を並べた列 $a_{d-1}a_{d-2}\cdots a_0$ のこととする。これは整数 $$a_{d-1}(-n)^{d-1}+a_{d-2}(-n)^{d-2}+\cdots+a_0(-n)^0$$ と対応しており，0でない任意の整数と対応する $(-n)$ 進数がただ一つ存在することが知られている。例えば $$1\times(-4)^3+3\times(-4)^2+1\times(-4)^1+2\times(-4)^0=-18$$ なので，$(-4)$ 進数の1312は整数 $-18$ に対応する。$(-5)$ 進数の1234は整数の $\boxed{\text{ウ}}$ に対応し，整数 $-2020$ は $(-7)$ 進数の $\boxed{\text{エ}}$ に対応する。