4奈良県立医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1)

3回すべてが引き分けになるのは，AとBが同じ順序でカードを出す場合に限る。Aの出す順序は$3!$通りあり，その各々に対してBの順序が一致するのは1通りだから， $$\displaystyle \text{ア}=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}.$$

次に，Aのカードの数字が小さい順になるようにゲームの順序を並べ替えて考える。この並べ替えは勝ち数を変えず，Bのカードの順序は$1,2,3$の6通りを同様に確からしくとる。各順序での(Aの勝ち数，Bの勝ち数)は $$\begin{array}{c|cccccc} \text{Bの順序}&123&132&213&231&312&321\\ \hline (\text{Aの勝ち数},\text{Bの勝ち数})&(0,0)&(1,1)&(1,1)&(1,2)&(2,1)&(1,1) \end{array}$$ である。勝ち数が等しいのは4通りなので，$\text{イ}=4/6=2/3$。ここには両者とも勝ち数0の場合も含まれている。

(2)

第1ゲームでAが勝つと，最初のカードの組$(a_1,b_1)=(k,l)$は$(2,1),(3,1),(3,2)$の3通りで，条件付きで同様に確からしい。それぞれについて，第2ゲームのカードの組は残った2枚ずつから選ぶ4通りである。比較すると，次の表の勝ち数となる。 $$\begin{array}{c|ccc} (k,l)&\text{第2ゲームのAの勝ち}&\text{Bの勝ち}&\text{引き分け}\\ \hline (2,1)&1&2&1\\ (3,1)&0&3&1\\ (3,2)&1&2&1 \end{array}$$ 表の各行は4通り中の個数を表す。したがって，条件付きの全12通りのうちAが勝つのは2通り，Bが勝つのは7通りであり， $$\displaystyle \text{ウ}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6},\qquad \text{エ}=\frac{7}{12}.$$

(3)

第1ゲームで取り出すカードの組は$n^2$通りで同様に確からしく，Aが勝つ組は$n(n-1)/2$通りである。よって $$\displaystyle \text{オ}=\frac{n(n-1)/2}{n^2}=\frac{n-1}{2n}.$$ ここで，以後は第1ゲームで$a_1=k,\ b_1=l\ (k>l)$と定まった条件のもとで考える。第2ゲームの組$(a_2,b_2)=(x,y)$は，各箱に残った$n-1$枚から選ばれるので，全部で$(n-1)^2$通りが同様に確からしい。

$x\ne l$かつ$y\ne k$に加え，カードを戻さないことから$x\ne k,\ y\ne l$でもある。したがって$x,y$はともに1から$n$までの整数のうち$k,l$を除いたものから選ばれる。この集合の異なる2数を小さい方から$y$，大きい方を$x$とすればAが勝つので，その組数は${n-2\choose2}$。ゆえに $$\displaystyle \text{カ}=\frac{{n-2\choose2}}{(n-1)^2} =\frac{(n-2)(n-3)}{2(n-1)^2}.$$

最後に，$x=l$または$y=k$の少なくとも一方が成り立つ場合を考える。$x=l$なら，Aが勝つためには$y<l$であり，そのような$y$は$l-1$個ある。$y=k$なら，Aが勝つためには$x>k$であり，そのような$x$は$n-k$個ある。両方が同時に成り立つ組$(x,y)=(l,k)$では$l<k$よりAは勝たないため，勝ちとなる組数は$(l-1)+(n-k)$である。したがって $$\displaystyle \text{キ}=\frac{(l-1)+(n-k)}{(n-1)^2} =\frac{n-k+l-1}{(n-1)^2}.$$