VII防衛医科大学校 2022年 数学 第VII問解答・解説

1回の試行で得る点を、表なら2点、裏なら1点とする。コインの表裏は各回とも確率がそれぞれ$\displaystyle \frac12$で、二人の試行は独立である。一人の得点が初めて4点以上になる時刻を $T$、その時の得点を $S_T$ とする。最初の2回が表表なら $T=2, S_T=4$。$T=3$ の場合、時刻2までの得点が3なら3回目が裏で4点、表で5点となり、時刻2までの得点が2なら3回目が表で4点となる。$T=4$ となるのは最初の3回がすべて裏の場合だけで、4回目が裏なら4点、表なら5点である。従って $$\displaystyle \begin{array}{c|ccc} t & \Pr(T=t,S_T=4) & \Pr(T=t,S_T=5) & \Pr(T=t)\\ \hline 2 & \frac14 & 0 & \frac14\\ 3 & \frac38 & \frac14 & \frac58\\ 4 & \frac1{16} & \frac1{16} & \frac18 \end{array}$$ となる。各人は独立にコインを投げる。

(1) 両者が初めて4点以上になる時刻が等しい確率は $$\displaystyle \sum\limits _{t=2}^{4}\Pr(T=t)^2=\left(\frac14\right)^2+\left(\frac58\right)^2+\left(\frac18\right)^2=\frac{15}{32}.$$

(2) 時刻3でAが5点、Bが4点となる確率は $\displaystyle \frac14\cdot\frac38$、時刻4でそのようになる確率は $\displaystyle \frac1{16}\cdot\frac1{16}$。従って求める確率は $$\displaystyle \frac14\cdot\frac38+\frac1{16}\cdot\frac1{16}=\frac{25}{256}.$$

(3) 両者が同時にちょうど4点となる確率は $$\displaystyle \left(\frac14\right)^2+\left(\frac38\right)^2+\left(\frac1{16}\right)^2=\frac{53}{256}.$$ この後は両者とも試行を続け、それぞれ4点から8点以上に初めて達するまでの時刻は、上の $T$ と同じ分布を持つ独立な確率変数である。同時に8点以上となる場合の確率は $\displaystyle \frac{15}{32}$ なので、対称性よりAがBより先に8点以上となる確率は $$\displaystyle \frac{1-\frac{15}{32}}2=\frac{17}{64}.$$ このとき、Aが初めて8点以上となった時点ではBは8点未満である。求める確率は $$\displaystyle \frac{53}{256}\cdot\frac{17}{64}=\frac{901}{16384}.$$

(4) どちらか一方だけが先に4点以上となると、もう一方の最終得点は3点以下で、先に4点以上となった方の最終得点は8点以上となるため、得点差が2点にはならない。したがって両者が同時に初めて4点以上となった場合だけを考えればよい。上の表と独立性から、その時の得点の組と確率は $$\displaystyle \begin{array}{c|cccc} (A,B) & (4,4)&(5,4)&(4,5)&(5,5)\\ \hline \text{確率} & \frac{53}{256}&\frac{25}{256}&\frac{25}{256}&\frac{17}{256} \end{array}$$ である。

この時点から両者が試行を続けている得点を $(a,b)$ とし、最終得点差が2点となる確率を $G(a,b)$ とする。$a\ge8$ または $b\ge8$ なら試行は終了し、$G(a,b)=1$ は $a-b=2$ のとき、それ以外は $0$ である。まだ終了していないときは、次の4通りの表裏の組が等確率なので $$\displaystyle G(a,b)=\frac14\{G(a+1,b+1)+G(a+1,b+2)+G(a+2,b+1)+G(a+2,b+2)\}.$$ この式を各開始得点に適用する。得点差2で終了する組は $(8,6)$ または $(9,7)$ に限られ、得られる確率は $$\displaystyle \begin{array}{c|cc|c} (a,b)&\Pr((8,6))&\Pr((9,7))&G(a,b)\\ \hline (4,4)&\frac1{16}&\frac1{32}&\frac3{32}\\ (5,4)&\frac18&\frac9{64}&\frac{17}{64}\\ (4,5)&0&0&0\\ (5,5)&0&\frac1{16}&\frac1{16} \end{array}$$ となる。よって $$\displaystyle \frac{53}{256}\cdot\frac3{32}+\frac{25}{256}\cdot\frac{17}{64}+\frac{25}{256}\cdot0+\frac{17}{256}\cdot\frac1{16}=\frac{811}{16384}.$$ 以上である。