I防衛医科大学校 2022年 数学 第I問解答・解説

$AD=CD$ なので $\triangle ACD$ は二等辺三角形であり、$D$ は $AB$ 上にあるから $$\displaystyle \angle CAD=\angle ACD=\frac\pi{10},\qquad \angle ADC=\frac{4\pi}{5}.$$ 正弦定理より $$\displaystyle AC=4\frac{\sin(4\pi/5)}{\sin(\pi/10)} =4\frac{\sin(\pi/5)}{\sin(\pi/10)}=8\cos\frac\pi{10}.$$ 直角三角形 $ABC$ で $AB=AC\cos(\pi/10)=8\cos^2(\pi/10)$。従って $$\displaystyle BD=AB-AD=8\cos^2\frac\pi{10}-4=4\cos\frac\pi5=1+\sqrt5,$$ ゆえに [1] は選択肢5。

直角三角形の外接円半径は斜辺の半分なので $r=AC/2=4\cos(\pi/10)$。また $a=BC=AC\sin(\pi/10)=4\sin(\pi/5)$。従って $$\displaystyle ar=16\sin\frac\pi5\cos\frac\pi{10} =8\left(\sin\frac{3\pi}{10}+\sin\frac\pi{10}\right)=4\sqrt5,$$ ここでは $\sin(\pi/10)=(\sqrt5-1)/4$、$\sin(3\pi/10)=(\sqrt5+1)/4$ を用いた。よって [2] は選択肢5。