京都大学 2010年数学第4問解答・解説

図形と計量図形の性質

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1問題

京都大学2010年度第4問配点 35点

1 < a < 2とする。3辺の長さが√3、a、bである鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする。このときaを用いてbを表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

表示・条件確認辺 $\sqrt3,a,b$ の対角を $A,B,C$ とする。外接円半径1と鋭角条件から $A=60^\circ$ 。また $1<a<2$ と $a=2\sin B$ から $30^\circ<B<90^\circ$ 、従って $C=120^\circ-B$ も鋭角。A033の $\displaystyle b=2\sin C=\frac{a+\sqrt{12-3a^2}}2$ は正弦定理と内角和からの表示に一致し、平方根の枝も正である。

この問題で使う考え方

正弦定理
三角比と相互関係
三角形の性質

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