6京都大学 2010年 数学 第6問解答・解説

各ボールの選択は独立で、各箱を選ぶ確率が $\displaystyle \frac{1}{2n}$ であるという通常の投げ入れ方を考える。

全配置は $(2n)^n$ 通りである。どの箱にも2個以上入らない配置では、1個目のボールの行先が (2n) 通り、2個目が (2n-1) 通り、以下同様であるから、配置数は $$\displaystyle (2n)(2n-1)\cdots(n+1)=\frac{(2n)!}{n!}$$ である。従って $$\displaystyle p_n=\frac{(2n)!}{n!(2n)^n}=\prod\limits _{j=1}^{n}\frac{n+j}{2n}.$$ 自然対数を取り、$\displaystyle \phi(x)=\ln\frac{1+x}{2}$ とおくと $$\displaystyle \frac{\ln p_n}{n}=\frac1n\sum\limits _{j=1}^{n}\phi(j/n).$$ $\phi$ は $0\le x\le1$ で増加する。各区間 $\displaystyle \left[\frac{j-1}{n},\frac{j}{n}\right]$ において $\phi((j-1)/n)\le\phi(x)\le\phi(j/n)$ だから、これらを積分して足すと $$\displaystyle \int_0^1\phi(x)\,dx\leq\frac1n\sum\limits _{j=1}^{n}\phi(j/n) \leq\int_0^1\phi(x)\,dx+\frac{\phi(1)-\phi(0)}n.$$ 右端の余分な項は $n\to\infty$ で0になる。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{\ln p_n}{n} =\int_0^1\ln\frac{1+x}{2}\,dx =\left[(1+x)\ln(1+x)-(1+x)\right]_0^1-\ln2 =\boxed{\ln2-1}.$$ 原文の $\log$ の底が ($b>0,\ b\ne1$) を表す場合、極限値は $\displaystyle \boxed{\frac{\ln2-1}{\ln b}}$ となる。通常の自然対数の読みでは $\ln2-1$ である。