3京都大学 2010年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{交点の }x\text{ 座標を }\alpha\text{ とする。} \sin\alpha=a\cos\alpha\quad\text{ならば}\quad\tan\alpha=a,\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}. S=\int_0^\pi\sin x\,dx=2. T=\int_0^\alpha\sin x\,dx+\int_\alpha^{\pi/2}a\cos x\,dx=1-\cos\alpha+a(1-\sin\alpha). \sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}},\quad\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\quad\text{ならば}\quad T=1+a-\sqrt{1+a^2}. S:T=3:1\quad\text{ならば}\quad T=\frac{2}{3}\quad\text{ならば}\quad\sqrt{1+a^2}=a+\frac{1}{3}. \text{右辺 }a+\frac{1}{3}>0\text{ なので両辺を二乗し、 }1+a^2=a^2+\frac{2a}{3}+\frac{1}{9}\quad\text{ならば}\quad a=\frac{4}{3}. \text{実際、 }T=1+\frac{4}{3}-\frac{5}{3}=\frac{2}{3}\text{ であり、条件を満たす。}$$