2筑波大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1) $C_1$ と $C_2$ の交点では $\sin x=\cos x$ であり、$0\le x<\pi/2$ より $x=\pi/4$。従って $y=\sqrt2/2$。 $C_2$ と $C_3$ の交点では $\cos x=\tan x$。この範囲では $\cos x>0$ なので $\cos^2x=\sin x$。$u=\sin x$ とおくと $1-u^2=u$、すなわち $u^2+u-1=0$。$0\le u<1$ より $u=(\sqrt5-1)/2$。交点の $y$ 座標は $\cos x=\sqrt{u}$ だから $\sqrt{(\sqrt5-1)/2}$。 $C_3$ と $C_1$ の交点では $\tan x=\sin x$、従って $\sin x(1-\cos x)=0$。定義域ではこれを満たすのは $x=0$ だけで、$y=0$。 (2) $\alpha$ を $C_2$ と $C_3$ の交点の $x$ 座標とする。(1)より $$\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt5-1}{2},\qquad \cos\alpha=\tan\alpha=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}.$$ $C_2$ は減少し $C_3$ は増加するので、両者は $0<\alpha<\pi/4$ で交わる。また $\tan x-\sin x=\sin x(1-\cos x)/\cos x\ge0$、および $0\le x\le\pi/4$ では $\sin x\le\cos x$。従って $0\le x\le\alpha$ では $C_1\le C_3\le C_2$、$\alpha\le x\le\pi/4$ では $C_1\le C_2\le C_3$ である。よって囲まれた図形の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^\alpha(\tan x-\sin x)\,dx+\int_\alpha^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx\\ &=[-\ln(\cos x)+\cos x]_0^\alpha+[\sin x+\cos x]_\alpha^{\pi/4}\\ &=\sqrt2-1-\sin\alpha-\ln(\cos\alpha)\\ &=\sqrt2-\frac{1+\sqrt5}{2}-\frac12\ln\!\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right). \end{aligned}$$